En este post voy a definir el problema de lugar geométrico denominado arco capaz y a discutir el procedimiento de su construcción.
El problema y su procedimiento de construcción
En el problema de lugar geométrico denominado arco capaz, se da un segmento $AB$ y un ángulo $\lambda$. Se pide describir el lugar geométrico de los puntos en el plano, desde los que el segmento $AB$ se ve desde un ángulo $\lambda$.
Para quienes tienen prisa, el procedimiento de construcción es el siguiente:
- Trazar el segmento $AB$ ;
- trazar su mediatriz $m$;
- trazar una recta $r$ por $A$ de manera que forme un ángulo $\lambda$ con $AB$;
- trazar una recta $s$ por $A$, perpendicular a $r$, y llamar $O$ a la intersección de $m$ y $s$;
- trazar el arco de circunferencia entre $A$ y $B$ de centro $O$ y radio $OA$
Digresiones sobre el problema
Dada una circunferencia con centro en O y una cuerda AB, ésta define la medida de un ángulo central asociado que es el ángulo AOB, y también define a los ángulos inscritos AXB, con X sobre la circunferencia.
Como se sabe, el ángulo central mide el doble del ángulo inscrito correspondiente a la cuerda. Pero además los vértices $X$ de los ángulos inscritos $AXB$, asociados a esa cuerda, son todos los puntos de uno de los dos arcos asociados a la cuerda.
Por esta razón se puede hablar del lugar geométrico de los vértices $X$ de los ángulos $AXB$ asociados a esa cuerda. Esos ángulos tienen una cierta medida $\lambda$ que es la mitad del ángulo central.
Con estos antecedentes es fácil darse cuenta que el problema del arco capaz consiste en reconstruir el círculo original (parte de él) dados la cuerda y el ángulo.
Al arco de la circunferencia desde cuyos puntos $X$ se ve la cuerda $AB$ bajo un ángulo lamda se denomina ARCO CAPAZ del segmento AB bajo el ángulo lamda. (Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz [1])
Suponga que ahora tenemos un segmento $AB$ y un ángulo $\lambda$, y se nos pide dibujar el arco capaz de $AB$ bajo el ángulo $\lambda$.
Este es un problema de lugar geométrico: Construir el arco capaz del segmento $AB$ bajo un ángulo dado $\lambda$.
A continuación se analiza el problema del arco capaz como ilustración del modo de razonar un problema de lugar geométrico:
Para empezar sabemos que el arco capaz pedido es el arco de una circunferencia que tiene AB como cuerda. Entonces la verdadera incógnita aquí es el centro y el radio de la circunferencia (de la cual es un arco el arco capaz pedido).
Ahora bien, por el teorema de la cuerda mínima, sabemos que el centro debe estar en la mediatriz de $AB$. Y si pudiésemos localizar el centro O de la circunferencia, el radio es cualquiera de los segmentos OA u OB. En resumen, la incógnita se reduce a localizar el centro O. (Hasta aquí el problema ya se transformó en uno equivalente más sencillo.)
También sabemos, por la relación entre los ángulos central e inscrito, que el ángulo central AOB es el doble de $\lambda$. Y si denominamos $M$ al punto medio de $AB$, el ángulo $\lambda$ es el ángulo $AOM$.
De aquí que para localizar el centro $O$, el procedimiento más directo es trazar un ángulo de medida $\lambda$ con uno de sus lados la mediatriz, y después trasladar el otro lado paralelamente a sí mismo hasta hacerlo que pase por uno de los extremos de la cuerda $AB$. Entonces el lugar geométrico buscado son dos arcos de circunferencia, uno a cada lado del segmento AB y simétricos respecto a éste.
Otro método de construcción
Otro método es el que resulta en el procedimiento descrito al principio:
Primero hay que ver que los extremos $A$ y $B$ de la cuerda son puntos del arco capaz. Entonces, si por uno de ellos --digamos el A-- trazamos una tangente... Pero no conocemos el arco...
Lo que sí sabemos es que el ángulo semiinscrito que tiene como lados el segmento AB y la tangente al círculo en A, tiene el mismo arco interceptado que los que tienen los vértices $X$ en el arco capaz que buscamos.
Por lo tanto, basta con trazar un ángulo de medida $\lambda$ con vértice en A y uno de sus lados el segmento AB. Sea $s$ el otro lado de ese ángulo (el que vendría siendo la tangente).
Entonces $s$ es la tangente en $A$ al arco capaz que buscamos. De aquí que el centro de la circunferencia lo podemos encontrar trazando la perpendicular a $s$ por el punto $A$ --llamémosla $t$. Es decir, el centro $O$ buscado es la intersección de $s$ con la mediatriz $m$.
El siguiente problema es muy parecido al anterior pero un poco más difícil:
Dados dos puntos $M$ y $B$ fijos, y un ángulo $\lambda$, encontrar el lugar geométrico de los vértices $C$ de los triángulos $ABC$, tales que la medida del ángulo $BAC$ es $\lambda$, y $M$ es el punto medio de $AC$.
Los saluda
jmd