A continuación se presentan los problemas del concurso ciudades con que inició --el viernes 21 de septiembre-- el proceso de selección Tamaulipas 2012 para la XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas --cuyo concurso nacional se realizará en noviembre en Guanajuato. Se añaden algunos comentarios de parte del que esto escribe --a partir de los enunciados y de las soluciones presentadas por los concursantes...
Los problemas
1G. En el segmento AB se elige un punto E. En los extremos de AB se levantan dos segmentos AD y BC, perpendiculares a AB, de tal manera que AD=AE y BC=BE. Demostrar que el triángulo CDE es rectángulo en E.
2A. Encuentra la suma de todos los números impares menores que 2012.
3A. Si se sabe que la suma de dos números es 1 y que la suma de sus cuadrados es 2 ¿cuál es la suma de sus cubos?
4N. Un número de tres dígitos deja residuo 1 cuando se divide entre 2, 3, 4, 5 y 7. Encontrar todos los números posibles con esa propiedad.
5A. Al cuadrado de un entero se le llama cuadrado perfecto. Si $x$ es un cuadrado perfecto ¿cuál es el siguiente cuadrado perfecto expresado en términos de $x$?
6C. Sean $a_1,a_2\ldots,a_n$ enteros positivos y considere los números $b_1=a_1,b_2=a_1+a_2,\ldots,b_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Demostrar que si ninguno de los $b_i$ es múltiplo de $n$ entonces hay dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de $n$.
7G. Dado que el perímetro de un triángulo rectángulo es $2+\sqrt{6}$, y que la mediana a la hipotenusa es 1, encontrar su área.
Comentarios
1. Una valoración subjetiva del examen (de mi parte) es que éste se puede catalogar como difícil --digo, para ser la primera etapa del proceso. Y esto porque todos los problemas exigen algún conocimiento de matemáticas escolares muy puntual.
Por ejemplo, el fácil (el 1), requiere saber lo que es una perpendicular, un triángulo rectángulo, y el teorema del triángulo isósceles. Es decir, ninguno se puede abordar con pura creatividad. (La razón --creo-- es que ya falta solamente mes y medio para el nacional y...)
2. En el sentido del comentario anterior, el examen benefició a quienes se estuvieron preparando para él. Por ejemplo, el problema 2 pide la suma de los impares menores que 2012. Pero una solución ateórica es improbable.
Y, sin embargo, debería ser accesible para los escuelantes dado que se trata de una serie aritmética --cuyas propiedades se estudian en algún momento del curriculum de las matemáticas escolares. (Lo mismo es cierto del problema 4, que apela obligatoriamente al significado de mínimo común múltiplo.)
En síntesis, que el examen no estaba orientado a concursantes de ocasión. (En otras palabras, se podría decir que fue un examen políticamente incorrecto.)
3. Otro ejemplo es el problema 5 (quizá más fácil que el 1), el cual pide el siguiente cuadrado perfecto de uno dado.
Si el enunciado dijera ¿cuál es el siguiente cuadrado perfecto de $y^2$? la respuesta sería posiblemente trivial --$(y+1)^2$. Pero como, en vez de $y^2$, se dice $x$, ello obliga a un proceso de reflexión sobre el significado de cuadrado de un número --ya no tan trivial...
4. El problema 3 lleva incluida una trampa cognitiva --por lo demás involuntaria. Yo la descubrí en el momento de la evaluación, dada la alta frecuencia de una respuesta "inductiva" --y es posible construir una broma con ella:
"El profesor: la suma de dos números es 1 y la suma de sus cuadrados es 2 ¿cuál es la suma de sus cubos?"
"Los alumnos (a coro): tres, profe --pónganos uno más difícil"
Más allá de una recepción trivializante de los enunciados de los problemas matemáticos, el problema es de álgebra elemental pero difícil.
La respuesta de falsa generalización (o de "inducción intuitiva") sería de risa loca si no fuera por el hecho de que es muy real en nuestro sistema educativo mexicano: en ella se manifiestan los usos y costumbres de un sistema inmune a la crítica y que, a pesar de que debería ser un escándalo público, sigue manteniendo un alto rating.
5. La selección Victoria quedó compuesta por 2 niños de secundaria (y, sin embargo, con experiencia en concursos) y 8 de bachillerato (entrenados por Claudia).
Destaca el hecho de que los dos de secundaria son de la General 4, una secundaria que mantiene un grupo de entrenamiento en matemáticas de concurso como actividad extracurricular --a cargo del profesor Alejando Hernández. Y, bueno, hay que decir que en ese grupo se manifiesta la sensibilidad educativa de su directora (la maestra Roché).
6. Destaca también la labor de entrenamiento de Claudia Lorena Cabrera Arjona en la Preparatoria La Salle de Ciudad Victoria: Claudia y otros 7 de sus discípulos componen el resto de la selección Victoria.
Los saluda
jmd
PD: El problema 6 --tal y como se esperaba-- nadie lo resolvió. Este problema es, de hecho, una parte de la demostración del conocido teorema que dice: en todo conjunto de $n$ enteros positivos hay un subconjunto cuyos elementos suman un múltiplo de $n$.
Buenas tardes profesor, me
Buenas tardes profesor, me gustaría compartir mi solución al problema 6 para que me dijeran si estoy en lo correcto.
Como ninguna b puede ser múltiplo de n, entonces tenemos que b puede ser de las formas: kn+1, kn+2, kn+3,...,kn+(n-1). Entonces, tenemos n-1 formas en que puede ser b. Como tenemos que n cantidad de b (b1,b2,b3,...,bn), por casillas por lo menos una de las n-1 formas de b se tiene que repetir. La diferencia de éstas formas que se repiten tiene que ser un múltiplo de n.
Gracias, saludos!
Claro. Se tenía que maliciar
Claro. Se tenía que maliciar que era por casillas y entonces la solución se hace evidente. Gracias por el comentario.
PD: ¿Entrenaste a algunos concursantes? (Este problema fue el difícil...)
Te saluda
Buenas noches, profesor. Esta [1]
Buenas noches, profesor.
Esta es mi solución del problema 6 y me gustaría que me dijera si está bien o mal, y si está incorrecto, que me indicara en qué me equivoque. De antemano, gracias.
El problema dice que si ningún b es múltiplo de n. Primero tenemos que para que b_1 no sea múltiplo de n, entonces a_1 tampoco es múltiplo de n. Para que b_2 no sea múltiplo de n, entonces a_2 puede ser de cualquier forma, menos de la forma kn - a_1. Para que b_3 no sea múltiplo de n, entonces a_3 no puede ser de la forma kn - (a_1 + a_2). Y así seguimos hasta llegar que para que b_n no sea múltiplo de n, entonces a_n puede ser de cualquier forma, menos de la forma kn - (a_1 + a_2 + ... + a_n-1).
Así tenemos que todos los a_1, a_2, ..., a_n son congruentes con alguno de los residuos 1, 2, ..., n en módulo n. Esto demuestra que hay un a_i que es congruente con n en módulo n, o lo que es lo mismo, con 0 en módulo n.
Por lo tanto, como hay dicho a_i que es múltiplo de n, hay un b_i = a_1 + a_2 + ... + a_i-1 + a_i, y hay un b_i-1 = a_1 + a_2 + ... + a_i-1.
Concluyendo, la diferencia entre b_i y b_i-1 es igual a a_i, cuyo valor es múltiplo de n.
Por cierto, me gustaría saber cuándo es la etapa estatal.
Saludos.
Creo que te la complicaste
Creo que te la complicaste demasiado. (Y el resultado a que llegas es erróneo.) Ve la solución en el post actual.
El estatal es el 5 de octubre. Felicidades, obtuviste 42 puntos. Sigue estudiando.
Te saluda
Sí, ya revisé la solución, y
Sí, ya revisé la solución, y mirando en retrospectiva creo que sí me la compliqué bastante con ese problema.
Pero bueno, seguiré estudiando para el estatal.
Saludos y gracias.
No era fácil de ver la
No era fácil de ver la solución. Y si, estuvimos entrenando un tiempo y ahorita nos seguimos preparando para el estatal. Gracias.