En este post voy a discutir la posible relevancia de los problemas tipo PISA en la enseñanza de las matemáticas. Se presentan dos ejemplos: la dificultosa identificación de una gráfica (de modelación y difícil contenido matemático) y uno fácil de contexto auténtico, para cuya respuesta basta con analizar sin miedo los datos (extrayendo conclusiones) . Al final se proponen algunas lecciones que deja el examen PISA para los sistemas educativos.
¿Qué se valora en la enseñanza?
Una de las claves antropológicas para conocer una cultura es preguntarse ¿qué actividades se valoran en ella? En este sentido, para conocer el sistema educativo mexicano cabría preguntarse:
- ¿se valora la inversión en tiempo y esfuerzo de los estudiantes para resolver problemas tipo PISA?
- ¿la búsqueda de las estrategias de resolución?
- ¿el pensamiento analítico y la interpretación?
- ¿la redacción y demostración o explicación de una solución?
Y si se valoraran en México esas actividades, cabría preguntarse también
- ¿Le damos a los estudiantes la oportunidad de expresar sus habilidades de análisis, interpretación, argumentación?
- ¿Los presionamos para afinar sus habilidades de análisis y argumentación?
- ¿Les enseñamos a hacer preguntas y a explorar posibilidades?
- ¿Cabe en el curriculum escolar estos aspectos de la enseñanza que quiere PISA?
Y si no se valoran esas actividades educativas, ni es factible una enseñanza de acuerdo a los estándares de PISA ¿es razonable esperar un alto desempeño de los adolescentes de 15 años en ellas?
Discusión sobre la pregunta del chat (PISA 2003)
Mark (de Sydney, Australia) y Hans (de Berlín, Alemania) a menudo se comunican entre ellos “chateando” por Internet. Ellos se tienen que conectar a Internet al mismo tiempo para poder “chatear”. Para encontrar una hora adecuada para “chatear”, Mark buscó en un cuadro de horarios del mundo y encontró lo siguiente:
Mark y Hans no pueden chatear entre las 9am y las 4:30pm de su hora local debido a que están en la escuela. Tampoco lo pueden hacer entre las 11pm y las 7am debido a que es tiempo de dormir. ¿Tienen Mark y Hans algún tiempo adecuado para chatear?
Discusión
Esta pregunta es fácil de responder después de pensarle un rato (venciendo el temor a razonar con los datos).
Por ejemplo, se puede construir una tabla de dos columnas Berlín-Sidney y empezarla a llenar con 1am/10am, y continuar sumando 1 hora en cada columna. Eventualmente debe llegarse a una región de la tabla en que ambos pueden chatear de acuerdo a las restriciones. O bien razonar que, como hay 9 horas de diferencia, las 7am en Berlín corresponde a 7+9=4pm en Sidney. Así que pueden chatear de 7:30 a 9am hora de Berlín (de acuerdo a las restricciones).
La pregunta la presento como un ejemplo de lo que es un problema con contexto auténtico. Con contexto auténtico PISA se refiere a los problemas que despiertan un interés genuino para buscar una solución por parte del estudiante, y donde el propósito de usar matemáticas es resolver el problema (y no la práctica de habilidades particulares).
Sin embargo, no estoy muy seguro que el adolescente típico de 15 años sea el estudiante globalizado y de clase media que la pregunta describe. Pues se puede leer enytre líneas que:
- chatea y estudia (no necesariamente en ese orden
- tiene conexión a Internet en su casa
- tiene amigos y/o familiares en el extranjero
Discusión sobre la pregunta del tanque (PISA 2003)
Un tanque de agua tiene la forma y dimensiones que se muestran en la figura. Al principio, el tanque está vacío. Después se empíeza a llenar de agua a razón de un litro por segundo.
¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la forma en que la altura del agua cambia en el tiempo?
Discusión
Esta pregunta se responde con sentido común. Bueno, eso es lo que uno llega a creer después de aprender a razonar cualitativamente problemas de cálculo. Es decir, después de dos cursos de cálculo y haciendo todas las tareas. ¿La puede respoder de manera informada un adolescente de 15?
Puesto que la pregunta es opción múltiple no se puede saber. No pude conseguir la estadística del porcentaje de aciertos, pero apostaría que anda alrededor del 25. Es decir, los adolescentes respondieron al azar (al tin marín).
Un análisis cualitativo sería más o menos así: al empezar a llenarse el cono, la altura aumenta muy rápidamente al principio y menos rápido al final; y al empezar a llenarse la parte cilíndrica, el aumento de la altura se mantiene constante hasta el final. Por tanto, la gráfica que representa el llenado es B.
También se puede responder por eliminación (sabiendo leer cualitativamente una gráfica):
- La opción A es un tanto absurda pues significaría que la altura aumenta en una razón constante y despues ya no aumenta (¿se derrama el sobrante?). Por tanto se elimina.
- La opción C también se elimina porque significaría que el tanque es todo cilíndrico.
- La E es parecida a la A y tampoco es posible.
- La opción D significaría que la altura empieza a aumentar muy lentamente pero después ese aumento se acelera. Corresponde a un cono invertido. (Bueno pero si sabes hacer este tipo de análisis ya no tenías que eliminar las otras opciones... de cualquier manera la eliminación aumenta la probabilidad de éxito de 1/4 a 1/2 --al tener que elegir entre la B y la D.)
Para adolescentes ya en la prepa, y aficionados a las matemáticas, el problema se puede modificar haciendo preguntas más difíciles. Por ejemplo:
- Establecer en una ecuación la relación funcional entre la altura y el tiempo para un tanque cilíndrico.
- Establecer en una ecuación la relación funcional entre la altura y el tiempo para un tanque cónico.
La pregunta del tanque tiene, en mi opinión, un valor simbólico para la educación secundaria. Es un mensaje de PISA hacia los sistemas educativos. Algo así como: "al terminar la secundaria los adolescentes deberían poder responder este tipo de preguntas".
La enseñanza que logra eso es la de asociar de manera significativa la gráfica y la función, especialmente en sentido inverso: identificar en la gráfica algunas característica de la función. No estoy seguro si eso se puede enseñar en el apretado espacio del curriculum de secundaria, pero al menos los alumnos más dotados para las matemáticas podrían aceptar el reto de este tipo de aprendizajes en el taller extracurricular vespertino.
Moralejas para el aula y la imposibilidad de implementarlas
El diseño de preguntas tipo PISA no es fácil. Pues se le tiene que pensar bastante antes de lograr una pregunta acabada. Una de las restricciones es que debe ser relevante para el adolescente típico de 15 años.
(Calculo que se llevaría 10 horas efectivas de un experto en diseño de este tipo de preguntas --lo cual se traduce a aproximadamente entre 1000 y 5000 pesos el costo de diseño, dependiendo del experto. Y si le aumentamos lo de la edición y afinaciones, una pregunta como esta costaría alrededor de 10000 pesos.)
Las evaluaciones PISA en su lado matemático llevan consigo ciertas direcciones hacia las que debería orientarse la enseñanza - si es que se quiere estar a la altura de los estándares internacionales.
¿Contextos auténticos para los problemas? pero... crear problemas en contextos realistas no es una tarea fácil, de hecho es difícil, y no tiene valor curricular. Es decir, el profe tiene que diseñarlos por el mismo precio... ¿es razonable esperar que lo haga?
Y si hubiera colecciones de problemas de contextos realistas en el futuro (suponiendo que la SEP los financiara de alguna manera), todavía faltarían los profesores con buena preparación para transformarlos en actividades áulicas para sus alumnos.
Y si tales profesores existieran, todavía faltaría que sus estudiantes estuvieran dispuestos a realizar esas actividades no de rutina (faltaría que los administradores no sobreprotegieran a los alumnos y le dejaran al profesor un buen margen de maniobra para establecer el contrato didáctico con ellos).
Por otro lado, detrás de los problemas de contexto realista está la modelación matemática, la cual no es una habilidad natural ni de profesores ni de sus alumnos, por tanto debe ser enseñada.
En síntesis, la enseñanza de acuerdo a los estándares PISA es no factible para el aula mexicana de matemáticas.
Los saluda
jmd