En los entrenamientos de la selección ONMAS Tamaulipas 2013 me tocaron 2 sesiones de 3 horas cada una. De ahí elegí 4 problemas de aritmética para presentarlos en este post, en el cual voy a resolverlos y a comentarlos.
A pesar de ser elementales, están lejos de ser triviales. Digo, considerando que fueron para alumnos de primaria y secundaria. (Para el alumno promedio muy probablemente cada uno de ellos es un proyecto de investigación.)
Los problemas
1. Encontrar todos los números $N$ de tres cifras tales que al dividirlos entre 3 dejan residuo 1, al dividirlos entre 7 dejan residuo 2 y al dividirlos entre 5 dejan residuo 0.
2. ¿Para cuáles enteros positivos $n$ se cumple que $n-17$ divide a $n+4$?
3. Encontrar todos los números de tres cifras múltiplos de 33 y cuyo dígito de las decenas es 2.
4. ¿Cuántos números de tres cifras son tales que el cuadrado del dígito de las centenas es igual al duplo de la suma de los otros dos?
Los comentarios
1. Los conocimientos previos necesarios para resolver este problema son el algoritmo de la división y el hecho de que un residuo cero significa que el dividendo es divisible entre el divisor. Un enfoque directo de solución es hacer una lista y cribar (tachar los que no cumplen alguna de las condiciones). (El método de la criba es muy útil para problemas en que es posible elaborar la lista --en este caso, de 100 a 999.)
2. Este problema es instructivo como antecedente de la divisibilidad de polinomios. Hay que hacer la división de $n+4$ entre $n-17$ y de ahí concluir.
3. En este problema es muy útil saber los criterios de divisibilidad del 3 y el 11 y el hecho de que 33=3(11) --de manera que, al ser primos los factores, el problema se puede descomponer en dos.
4. Requiere un planteamiento algebraico y, obviamente, conocer el sistema posicional --el dígito de las centenas es el primero.
Las soluciones
1. Solución
La solución corta es relativamente difícil de ver. Ni yo ni los seleccionados ONMAS 2013 la vimos. Consiste en observar que $N+5$ es divisible entre 3,7 y 5. Es decir, $N+5$ es divisible entre 105. La solución directa es por criba: 100, 105, 110, ... y se ve que 100 es uno de los números buscados.
¿Y los restantes? Bueno, pues hay que continuar la lista y descartar los que no cumplen. Por ejemplo, el 105 se descarta pues es divisible entre 3; el 110 también pues deja 2 de residuo en la división entre 3; etc. ¿Tedioso? Sí, pero el día del concurso es un día especial y si no se te ocurrió otra forma hay que hacerlo por fuerza bruta.
Una forma de facilitar la criba es aplicar el hecho de que en una serie aritmética los residuos recurren en ciclos.
residuo 3 residuo 7
100 1 2
105 0 0
110 2 5
115 1 3
120 0 1
125 2 6
130 1 4
135 0 2
140 2 0
|45 0 5
Etc.
De esta manera se llega a que el siguiente que cumple es el 205. Y en ese momento puede uno llegar a sospechar que --dado que los residuos recurren-- la siguiente coincidencia de residuos 1 y 2 sería en el número 310 (lo cual se verifica fácilmente) y la siguiente en 415, etc. Y posiblemente se descubra también la idea clave de la
Solución corta
Si uno observa el hecho de que $N+5$ es divisible entre 3,7 y 5, entonces $N+5$ es múltiplo de 105. Así que $N+5$ solamente puede ser 105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945. Así que los números buscados son 100, 205, 310, 415, 520, 625, 730, 835, 940.
2. Solución
Debería ser claro que $n-17$ divide a $n+4$ si y sólo si $\frac{n+4}{n-17}$ es entero (por definición). Restando y sumando 21 se simplifica a
$$\frac{n+4}{n-17}=1+\frac{21}{n-17}$$
Y se hace evidente que $n-17$ debe ser uno de los divisores de 21, es decir, $n-17$ debe ser uno de los números $\pm1,\pm3,\pm7,\pm1,\pm21$.
Resolviendo la ecuación para cada uno de esos números se obtiene la solución (se descarta $n-17=-21$ pues resulta en n negativo):10,14,16,18,20,24,38. (También se puede hacer por tanteos, pero de esa manera no se demuestra que estos son todos y no se obtendrían los 7 puntos en un concurso.)
3.Solución
Los números buscados son de la forma $100a+20+b$. Como deben ser múltiplos de 33 entonces son múltiplos de 3 y de 11. Recordando los criterios del 3 y del 11 se logran las ecuaciones $a+2+b=M(3), a+b=M(11)$. Y bueno aquí no hay más que adivinar y verificar. Sin embargo, una idea que ahorra trabajo es encontrar el mayor divisible entre 3 y...
El mayor múltiplo de 3 que se puede lograr en la suma de los dígitos es 18. Entonces $a+b=16$. Y por el criterio del 11, la suma mayor es $a+b=13$. Por tanto, el mayor número que cumple es 924.
Ahora lo que tenemos que hacer es variar el primero y el último dígito de manera que su suma siga siendo 13. Por tanto la respuesta es: 924, 825, 726, 627,528,429.
(Nota: el criterio del 11 para un número de tres cifras abc es que a-b+c sea múltiplo de 11. )
4. Solución
El problema se deja modelar como $a^2=2(b+c)$ --donde $a$ sería el dígito de las centenas y $b.c$ los de las decenas y unidades, respectivamente. Puesto que $a^2$ es el doble de otro, entonces es par. Pero entonces es múltiplo de 4 --pues es cuadrado.
Ahora bien, $a+b$ no puede ser mayor que 18 --por ser dígitos. Así que $a^2$ solamente puede ser alguno de los números 4,16,36.
Si $a^2=4$ entonces $b+c=2$ y las únicas posibilidades son 211,202,220 (tres casos).
Si $a^2=16$, entonces $b+c=8$ y se tienen 9 posibilidades: 408,480, 417, 471, 426, 462, 435, 453, 444.
Si $a^2=36$, entonces $b+c=18$ y se tiene solamente un caso: 699.
En total son 13 números de tres cifras que cumplen que el cuadrado de la cifra de las centenas es el duplo de la suma de los otras dos.
Los saluda
jmd