Introducción
En lo que sigue voy a utilizar dos hechos muy básicos de desigualdades:
--una cantidad variable elevada al cuadrado nunca es negativa (regla de los signos)
--si una cantidad variable nunca es menor que una constante $C$ y esa constante se logra obtener para algún valor de la variable, entonces $C$ es el mínimo valor que la cantidad variable puede obtener.
Son casi axiomas --en el sentido en que hace tiempo se entendía el término, es decir, verdades evidentes que no requieren demostración. Queda a cargo del lector la tarea de ver esa evidencia...
Los problemas
Problema 1. De entre todos los pares $x,y$ de números reales no negativos, que suman una cierta cantidad positiva $2m$ fija, encontrar un par $x*,y*$ cuyo producto sea el mayor posible.
Éste es un problema clásico de máximos y mínimos. Se pueden derivar de él infinitos casos particulares dando valores a la $m$. Por ejemplo: de entre todos los pares de números positivos que suman 30 ¿cuál par tiene un producto máximo?
El problema se deja modelar mediante una ecuación cuadrática: maximizar $z= x(2m-x)$. Porque, dado que $x+y=2m$, podemos eliminar la $y$ e incorporarla en la función que se trata de maximizar.
Y es claro que ahora podemos utilizar el método de completar el trinomio cuadrado perfecto tal y como se explica en el comentario al problema [1] del cual este post es continuación:
$$z=2mx-x^2=-[x^2-2mx+m^2-m^2]=-(x-m)^2+m^2$$
Ahora solamente hay que darnos cuenta que $z$ nunca es mayor que $m^2$:
$$-(x-m)^2+m^2\leq m^2$$
Pero como la igualdad se logra si y sólo si $x=m$ (es decir, si y sólo si las dos cantidades son iguales), entonces el máximo valor de $z$ ocurre si y sólo si
$$x*=y*=m=(x+y)/2$$
En resumen, $xy\leq m^2=[(x+y)/2]^2$.
Regla: si la suma permanece constante, el producto es máximo cuando las dos cantidades son iguales.
Problema 2. De entre todas las parejas $x, y$ de números reales positivos cuyo producto es una cierta constante $g^2$, encontrar una cuya suma sea lo menor posible.
De nuevo, el modelo matemático sería: minimizar $z= x+y$, sujeto a la restricción de que $xy=g^2$. Solamente que ahora nos topamos con la dificultad de cómo incorporar la restricción en la función que se desea minimizar y, al mismo tiempo, lograr una cuadrática (la función que ya sabemos minimizar).
Aprendan el siguiente truco:
$$z=x+g^2/x=(\sqrt{x})^2+(\sqrt{g/x})^2$$
Muy bien, me dirán, pero ahora ¿cómo completamos el trinomio cuadrado perfecto? Bueno, la respuesta es que necesitan aprender que el trinomio se completa no solamente sumando y restando "el cuadrado del segundo" sino que, como en este caso, se puede completar sumando y restando "el doble del primero por el segundo" (Un truco que, incidentalmente, es el que se usa para factorizar $4a^4+b^4$ y que da lugar a la identidad de Sophie Germain [2].)
Y, en $(\sqrt{x})^2+(\sqrt{g/x})^2$ el doble producto es $2g$ --dado que las raíces se cancelan en la multiplicación. Por lo tanto
$$z=x+g^2/x=(\sqrt{x})^2+(\sqrt{g/x})^2= (\sqrt{x}-g/\sqrt{x})^2+2g$$
Y se puede ver que esta cantidad es siempre mayor, o si caso igual, a $2g$. Por tanto, dado que la igualdad se cumple si y sólo si $x=g$,
$$z= x+y\geq2g=2\sqrt{xy}$$
Con igualdad si y sólo si $x*=y*=g$
Regla: si el producto se mantiene constante, la suma es mínima cuando, y sólo cuando, las dos cantidades son iguales.
Resumen de los dos problemas
1. Si $x, y$ varían en los reales positivos de tal manera que $x+y=2m$, entonces $xy\leq{m^2}=[(x+y)/2]^2$ --con igualdad si y sólo si $x=y=m$ (i.e., si las cantidades son iguales)
2. Si $x, y$ varían en los reales positivos de tal manera que $xy=g^2$, entonces $x+y\geq{2g}=2\sqrt{xy}$ --con igualdad si y sólo si $x=y=g$ (i.e., las cantidades son iguales)
Ahora supongamos que tenemos dos cantidades positivas $x, y$. Si fijamos su suma $x+y$ entonces $\sqrt{xy}\leq{(x+y)/2}$. Y si fijamos su producto sucede lo mismo. Y la igualdad se logra si y sólo si ambas cantidades son iguales --a $(x+y)/2$ o $\sqrt{xy}$ dependiendo de si se fija la suma o el producto. ESTA ES LA DESIGUALDAD DE LAS MEDIAS.
Instancia de uso
Demostrar que para todo real positivo $x$, se cumple la desigualdad $x+1/x\geq{2}$ --con igualdad si y sólo si $x=1$
Demostración
Por la desigualdad de las medias se tiene $1=x(1/x)\leq{(x+1/x)/2}$ --con igualdad si y sólo si $x=1/x$. Es decir, $x+1/x\geq{2}$ --con igualdad si y sólo si $x=1$, dado que la cantidad $x$ es no negativa y $x^2=1$ se convierte en $x=1$.
Instancia de uso de la instancia de uso
Hallar el producto del máximo y el mínimo valor de $f(x)=(3x+1)/(9x^2+6x+2)$
Solución
Haciendo el cambio de variable $z=3x+1$, la expresión algebraica $(3x+1)/(9x^2+6x+2)$ se puede transformar --después de algunas manipulaciones algebraicas-- en $z/(z^2+1)$.
Y tenemos tres casos:
--si $z=0$ entonces $f=0$
--si $z$ es positiva, entonces la función se puede expresar como $f(z)=1/[z+1/z]$ --y se ve que, puesto que el denominador es no menor a 2, $(z+1/z\geq{2})$, entonces $f(z)\leq{1/2}$ --con igualdad si y sólo si $z=1$ (por la instancia de uso); se sigue que el máximo de $f(x)$ es 1/2 (regresando a la variable original).
--si $z$ es negativa, entonces $-z$ es positiva (y tenemos $-f(z)=1/[-z-1/z]$), y podemos aplicar todo igual que antes para llegar a que $-f(x)\leq{1/2}$; es decir, $f(x)\geq{-1/2}$ --con igualdad si y sólo si $x=-2/3$. Se sigue que el mínimo de la función es -1/2.
La respuesta es entonces: el producto del máximo y el mínimo de (3x+1)/(9x^2+6x+2) es -1/4.
(El lector interesado puede intentar aprender derivadas y la regla de la primera derivada para máximos y mínimos y comprobar que el máximo y el mínimo resultan con ese método 1/2 y -1/2 como aquí se ha dicho.)
Comentario final
Notemos que el problema (planteado por León-Sotelo [3]) se puede dividir en tres partes: encontrar el máximo y encontrar el mínimo de la función f(x)=(3x+1)/(9x^2+6x+2), y encontrar el producto del máximo y el mínimo.
Pero si se planteara de esta manera, como que se pierde el atractivo de decidir qué es lo que se tiene que hacer para resolverlo --es decir, se le priva innecesariamente al cognizador del placer de descubrir por sí mismo la ruta que conduce a la solución (se le dan las respuestas sin darle la oportunidad de formular antes las preguntas).
Desde un punto de vista didáctico (por lo menos dentro de una cierta didáctica que a mí me gusta --y que está ahora de moda, por lo menos en los documentos de la RES) el ahorrarle al estudiante el tener que pensar sobre el problema (y enseñarle la ruta por la vía corta de decirle "así se hace y apréndetelo") tiene efectos no deseados en el aprendizaje y en los hábitos de estudio de los adolescentes.
En primer lugar, es improbable que asimilen las respuestas si antes no se han formulado las preguntas --en cierta forma, se puede decir que la conexión directa les hace corto circuito. Pero, por otro lado y en segundo lugar, esa práctica didáctica de la amabilidad inculca hábitos nocivos en los adolescentes y un contrato didáctico implícito que atrofia sus capacidades intelectuales (los hace unos atenidos).
De esta manera, la moraleja que se puede extraer de esta digresión didáctica sobre la enseñanza a través de los problemas, es que el profesor --y el problema didácticamente eficaz-- debe tener algo de malvado (como opuesto a bondadoso) --sin llegar a ser quizá perverso.
Porque se podría decir que la maldad funciona como un incentivo para hacer un esfuerzo conciente orientado conseguir neutralizarla (es decir, lograr la bondad, la amabilidad). La enseñanza problémica (a través de los problemas) es, en este sentido, una agonística --se les llamaba agones o agonistas a los luchadores en la antigua Grecia (de agón= lucha, contienda, desafío), los cuales habían sido entrenados para la lucha (y para la gloria) en el estadium.
(Aunque, también es probable que no todos pueden ser gladiadores elegidos para la gloria... y por esa razón habría ciertos temas de las matemáticas escolares que deberían permanecer ocultos --o, por lo menos invisibles-- en las aulas... como es el caso de este tema de máximos y mínimos sin derivadas del que acabamos de hablar.)
Los saluda
jmd