Primera lección: Complementos

Enviado por jmd el 17 de Febrero de 2013 - 08:21.

Una vez que se tienen los conceptos de divisibilidad y el método de agrupación de múltiplos de un número, es fácil comprender (y aprender) los criterios más usados de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad del 3 y el 9

Si expresamos el número $n$ en su notación decimal desarrollada, entonces es posible agrupar los múltiplos del 9 (o del 3) --mediante el artificio de ver al 1000 como 999+1-- y se hace obvia la veracidad de ambos criterios. En la discusión que sigue denotaremos con $M(m)$ a un múltiplo cualquiera de $m$.

$$2013=2\times10^3+0\times10^2+1\times10^1+3\times10^0$$ Es decir,
$$2013=2000+10+3$$
Pero 2000=2(999+1); 10=1(9+1);3=3.

Por tanto, $2013=M(9)+2+1+3=M(9)+6$.

Ahora se hace evidente que si dividimos a 2013 entre 9 el residuo es 6 (la suma de sus dígitos). Debería ser claro también que si dividimos a 2013 entre 3, el residuo es cero. El lector debería demostrar en general los siguientes dos criterios de divisibilidad:

Criterio del 9: En la división entre 9, un número y la suma de sus dígitos dejan el mismo residuo.

Criterio del 3: En la división entre 3, un número y la suma de sus dígitos dejan el mismo residuo.

Criterios del 7 y del 11

Si representamos el número como la suma de diez veces sus decenas más sus unidades, tenemos $n=10a+b$ (por ejemplo, 2013=2010+3).

Como deseamos dividir entre 7, "buscamos el 1", es decir, buscamos un número que deje residuo uno en la división entre 7.

Ese número es el 50. Por tanto, conviene multiplicar la representación de $n$ por 5. Se obtiene: $5n=50a+5b$. Es decir, $5n=49a+a+7b-2b=M(7)+a-2b$. Pero 5 y 7 no tienen divisores comunes. Por tanto, 7 divide a $n$ si y sólo si 7 divide a $a-2b$.

La forma de aplicar este criterio es como se ve en el siguiente ejemplo: 861=860+1; 86-2=84, y se hace obvia la divisibilidad entre 7.

Se deja como ejercicio demostrar el criterio del 11. Baste decir que 1000=1001-1, 100=99+1, 10=11-1. Ejemplo: en 715 se tiene 7-1+5=11, un múltiplo de 11.

Lema fundamental

El argumento "Pero 5 y 7 no tienen divisores comunes. Por tanto, 7 divide a $n$ si y sólo si 7 divide a $a-2b$" apela al lema fundamental de la teoría de números. La demostración que enseguida se presenta no pretende ser rigurosa sino intuitiva.

Supongamos que los enteros $a$ y $b$ no tienen divisores en común y que $a$ divide al producto $bc$. El lema fundamental afirma que, en ese caso, $a$ divide a $c$.

La forma más fácil de convencerse de su validez es razonando que, en la división $bc/a$, $b$ no contribuye con ninguno de sus factores a cancelar los factores de $a$ --dado que $a$ y $b$ no tienen ninguno en común. Por tanto, todos los factores de $a$ se cancelan con los de $c$.

Problemas

1. La edad del padre es un año menor que el doble de la de su hijo, y al escribir las edades resultan dos números con los dígitos invertidos.

Solución

Sean $a,b$ los dígitos y $p,h$ las edades. Entonces, $10a+b=p=2h-1$. Pero $h=10b+a$. Por tanto $10a+b=20b+2a-1$. Es decir, $1+8a=19b$. El problema entonces se reduce a encontrar la solución en enteros de esta ecuación.

Una solución elemental consiste en observar que, en la sucesión del 19, el primer elemento de la forma $8a+1$ es el $57=3(19)$. De ahí que $b=3$ cumple:

19
38
57=7(8)+1

Obviamente, la solución (37 el hijo y 73 el padre) podría obtenerse por inspección, pero...

Un poco más formal es la solución que procede multiplicando por 7 la ecuación --para obtener:

$$7+56a=7(19)b$$
$$7+57a=7(19)b+a$$
$$a=M(19)+7$$
Pero, por ser $a$ dígito, $a=7$. De aquí que $b=3$.

Alternativamente, si se multiplica por 3, se obtiene:

$$3+24a=57b$$
$$3+3(8)a=7(8)b+b$$
$$3+M(8)=b$$

Per $b$ es dígito. Por tanto $b=3$. (Y $a=7$.)

Como el lector podrá concluir por su cuenta, en ambos casos la idea es "aislar" una de las variables, de manera similar a como se "despeja" en ecuaciones lineales, es decir, multiplicando por el inverso. Con este método se pueden resolver los siguientes problemas --los cuales se dejan de