Porque el segmento que une el punto exterior $P$ con el centro $O$ del círculo, forma dos triángulos rectángulos con los radios a los puntos de tangencia $A,B$. Y esos triángulos son congruentes (por el teorema de la hipotenusa y el cateto).

(Caso de que sean exteriores) Porque la línea de centros, los radios y las tangentes forman dos trapecios congruentes (lados correspondientemente iguales y ángulos rectos en los
puntos de tangencia).

(Caso de que sean interiores) Porque desde el punto de intersección, digamos X, hay la misma distancia a los puntos de tangencia en una de las circunferencias, digamos x; y lo mismo es cierto para la otra, digamos y. Ambas tangentes miden entonces $x+y$.

Se tienen que considerar tres casos: el ángulo inscrito o bien tiene un diámetro como lado (el caso más fácil de demostrar), o bien no lo tiene; pero si no lo tiene entonces el diámetro o bien queda dentro del ángulo o bien queda fuera (estos dos subcasos se demuestran apelando al primero ya demostrado).  Los detalles al lector.
 

Porque en un isósceles la altura y la mediatriz coinciden. (Conversa: Si el radio biseca la cuerda entonces el punto de bisección, los extremos de la cuerda y el centro forman dos triángulos congruentes --por criterio LLL. De aquí que los ángulos en el punto de bisección --que son correspondientes-- son iguales. Pero forman un llano; luego, son rectos.)

Porque la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos. Y el centro equidista de los extremos de la cuerda; por tanto el centro está en la mediatriz de la cuerda.
 

Porque la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos. Y el centro es equidistante de los extremos de la cuerda. Por tanto, el centro está sobre la mediatriz.

Porque el radio es la distancia más corta a la tangente. Y la distancia más corta a una recta es la distancia perpendicular.
 

Sea $AB$ el diámetro y $ C $ un punto sobre la circunferencia. Entonces el ángulo $BCA$ es recto (por ser inscrito en una semicircunferencia). Si $ C' $ es la proyección de $ C $ sobre el diámetro $AB$, entonces $CC'$ es la semicuerda perpendicular al diámetro (pues el diámetro perpendicular a la cuerda es su mediatriz).

Entonces, por potencia de un punto, $(CC')^2=(AC')(C'B).$  Es decir, $AC'/C'C=CC'/C'B.$

(El aprendiz haría bien en demostrarlo utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos de la configuración, y también en recordar que la potencia de un punto es semejanza de triángulos "enlatada". )

Porque, tomando el inscrito con un lado como diámetro, el resultado se sigue por complementariedad.

Porque el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo central correspondiente al arco interceptado. Y para un arco, el central es único.

Porque su arco interceptado es la mitad de la circunferencia y su medida es la mitad de ese arco, es decir, $\pi/2$. (Ejercicio: demostrar con triángulos congruentes.)

Porque la suma de los arcos interceptados por dos de sus ángulos opuestos (que son inscritos) es toda la circunferencia (que mide $2\pi$); y la medida de un ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. (Y la mitad de $2\pi$ es $\pi=180$ grados.)

Porque las cuerdas son iguales si y sólo si los dos isósceles formados por las cuerdas y los radios a los extremos de ellas son congruentes (criterio LLL). Y estos isósceles son congruentes si y sólo si,  los ángulos en el vértice del centro de sendos isósceles son iguales (criterio LAL). Y estos ángulos son iguales si y sólo si tienen el mismo arco interceptado.

Porque (con referencia a la figura) el ángulo STP es $180-y$ (por suplementariedad) y también $180-x-z$ (por suma de ángulos). De aquí que $z=y-x$ (y un inscrito es el doble que el central --y éste se mide por el arco interceptado).

Porque las mediatrices de las cuerdas en sendas paralelas son coincidentes. Luego, los trapecios formados por la mediatriz común y las medias cuerdas son congruentes (tres lados correspondientemente iguales y dos ángulos rectos correspondientemente iguales). De aquí que las cuerdas que unen los extremos de las cuerdas paralelas son congruentes --y las cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes.

Porque (con referencia a la figura) $y=x+z$ (ángulo exterior), y el ángulo semi-inscrito $x$ intercepta el arco más cercano.

Porque las longitudes de las tangentes al círculo (inscrito en el cuadrilátero) trazadas desde un mismo vértice son iguales, y pertenecen a lados adyacentes.

Porque (con referencia a la figura) las cuerdas de los arcos más cercano y más lejano forman, con la secante y la tangente, los triángulos semejantes PQT y PTR. De aquí que $PQ/PT=PT/PR$, es decir, $PT^2=PQ\cdot PR$.

Porque (con referencia a la figura) las cuerdas forman los triángulos semejantes APD y BPC. De aquí que AP/PB=PD/PC, es decir $AP\cdot PC=BP\cdot PD$

Porque (con referencia a la figura) uniendo los puntos de corte más lejano de una secante y más cercano de la otra, se forman los triángulos semejantes PRS y PTQ. De aquí que $PR/PT=PS/PQ$, es decir, $PR\cdot PQ=PT\cdot PS$.

Porque (por teorema del radio y la tangente) ambas tangentes son perpendiculares al mismo diámetro.
 

Porque el ángulo en cuestión es exterior (en el cruce de cuerdas) al triángulo formado por las cuerdas y el segmento que une sus extremos. Con referencia a la figura, $z=x+y$ y los ángulos $x,y$ son inscritos --y los inscritos miden la mitad del central (y el central mide la longitud de su arco interceptado).

Porque (con referencia a la figura) $x=y+z$ (ángulo externo); y $x,y$ son semi-inscritos e interceptan, repectivamente, a los arcos más lejano y más cercano.