Introducción

Para introducir con pocas palabras a qué se dedica la geometría proyectiva, enuncio aquí uno de los teoremas más importantes dentro de la geometría proyectiva:

Teorema de Desargues [1]

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos en perspectiva [2], entonces los siguientes puntos son colineales.

$P = AB \cap A'B' \quad \textrm{(AB intersecci\'on A'B')}$

$Q = BC \cap B'C' $

$R = CA \cap C'A' $

Sin embargo, este teorema no está bien enunciado para el plano Euclideano (el plano que comunmente conocemos). Pues es posible que las rectas $AB$ y $A'B'$ no se intersecten, o tampoco los otros dos pares de rectas. Entonces, a este enunciado habría que agregarle algo así:

.Sean [...], entonces si existen los siguientes puntos serán colineales.

[...]

Con este cambio ya estará bien escrito el Teorema de Desargues para el plano Euclideano. Pero no nos quedemos con eso, veamos más alla, ¿qué pasa cuando alguno de los puntos del problema no existe?. Por ejemplo, ¿qué pasa cuando $ P $ no existe?

¿qué pasa cuando P no existe?

En el siguiente interactivo de geogebra se presentan dos triángulos en perspectiva, pero con $AB$ y $A'B'$ paralelas, lo que hace imposible la existencia del punto $ P $. Mueve los triángulos, estudia la recta $QR$ y contesta:

¿Qué se puede decir de la recta QR?

Desargues con Paralelas

Created with GeoGebra [3]

Después de estudiar la figura se pude observar que la recta $QR$ siempre es paralela a los lados $AB$ y $A'B'$. Resulta, para la sorpresa de pocos, que esta observación sí es cierta.

Ahora bien, en el plano Euclideano este es un resultado diferente al enunciado de Desargues que acabamos de modificar. ¿Qué les parece?¿Son resultados muy distintos?¿Necesitan enunciarse por separado?

Si intentaramos enunciarlo en un mismo teorema tendríamos que escribir algo así:

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ [...] , entonces si existen los siguientes puntos serán colineales.

[...]

De no existir uno de los puntos pero sí los otros dos ocurriría que [...]

Lo cuál haría un teorema más completo. Pero aún nos faltaría agregar el caso en que dos de los puntos no existen.. Entonces, recordar el teorema de Desargues sería una cosa muy latosa. Otra alternativa sería escribir tres teoremas, teorema de Desargues A, B y C, pero tampoco es tan satisfactorio.

Entonces, la geometría proyectiva es la que nos ayudará a escribir estos tres teoremas en uno sólo. De hecho, el teorema de Desargues, tal como está escrito al principio, es un enunciado correcto en la geometría proyectiva. Pero, ¿cómo es esto posible?

En la geometría proyectiva se cree que el comportamiento de las rectas paralelas es idéntico al de dos rectas que se intersectan, pero en lugar de intersectarse en un punto a nuestro alcance, es como si se intersectasen en un punto al infinito.

El punto al infinito

Observa la siguiente animación, cuando se mueve el punto de intersección al infinito las dos rectas parecen cada vez más y más dos rectas paralelas, de ahí que se ocurre decir que dos rectas paralelas se intersectan en un punto al infinito.

Punto al infinito

Con esta idea, de que dos rectas paralelas se intersectan en un punto al infinito, es que se le puede dar sentido al teorema de Desargues aún cuando las rectas $AB$ y $A'B'$ son paralelas. En este caso se tendrá que el punto $ P $ es el punto al infinto donde se intersectan $AB$ y $A'B'$.

Pero entonces, ¿qué significará que $ P $, $ Q $ y $ R $ son colineales? Pues si lo pensamos un rato, el significado que más se acomoda para darle sentido a Desargues es que $QR$ sea una recta paralela a $AB$ (consecuentemente a $A'B'$). Pero preguntémonos esto, fuera del teorema de Desargues, es decir, ¿qué significa que una recta $ L $ ( $QR$) pase por $ P $? Donde, $P$ es el punto al infinito de intersección de dos rectas paralelas.

Observa la siguiente animación y nota que la recta $ L $ (en rojo) se transforma en paralela cuando se mueve $ P $ hacia el infinito.

Recta que pasa por el infinito

Created with GeoGebra [3]

Con esto, el teorema de desargues toma sentido cuando los puntos en cuestión están en el infinito. Bueno, esta existencia de puntos al finito y paralelas intersectándose es lo que define a la geometría proyectiva. No es más que una extención del plano que conocemos con puntos al infinito.

Bueno, les queda como ejercicio pensar en esta extención del plano con puntos al infinito, y tratar de escribir el teorema de desargues cuando permitimos que el punto donde concurren $AA'$, $BB'$ y $CC'$ es un punto al infinito.