Apliaciones de los módulos

Ejemplo: Prueba que 6 divide a 2011²⁰⁰⁰+5.

La solución con congruencias es muy fácil. Como queremos ver si algo es divisible entre 6 pues usaremos modulo 6.

Sin mucho trabjo se puede calcular el residuo de 2011, que es 1. Es decir:

$2011 \equiv 1\pmod{6}$

Ahora bien, también se tiene la siguiente congruencia:

$2011 \equiv 1\pmod{6}$

¡Pero si es la misma! 8-o

Sí es la misma, pero lo importante es que viendola escrita dos veces queda claro que se pueden usar las propiedades de conservación del producto (sólo que a=c y b=d). Entonces, por la conservación del producto se tiene que:

$2011 \times 2011 \equiv 1\times 1\pmod{6}$

O lo que es lo mismo:

$2011^2 \equiv 1 \pmod{6}$

Ahora, si aplicamos nuevamente la conservación del producto se obtiene:

$2011^2 \times 2011 \equiv 1\times 1\pmod{6}$

Que es lo mismo que:

$2011^3 \equiv 1 \pmod{6}$

De esto se observa que podermos seguir así hasta probar que:

$2011^n \equiv 1 \pmod{6}$

Por último, se sabe que:

$5 \equiv 5 \pmod{6}$

Y usando la conservación de la suma se obtiene:

$2011^n + 5 \equiv 6 \pmod{6}$

Peo como 6 es congruentre con 0 modulo 6, entonces se tiene que:

$2011^n + 5 \equiv 0 \pmod{6}$

O lo que es lo mismo: $2011^n + 5 $ es divisble por 6 para todo valor de n.

Ejercicios de práctica

• Demuestra que $11$ divide a $7^{10n} -1$ para todo entero $n$.
• Demuestra que $11$ divide a $7^{5n}+1$ para todo impar $n \geq 0$.
• Demuestra que $11$ divide a $7^{2n+1} + 2^{4n+2}$ para todo entero $n$.