El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero y mide la mitad de éste.
Este es un teorema muy útil en la solución de problemas geométricos. De hecho se trata de dos teoremas de la línea media (el otro dice: paralela a la base por punto medio pasa por el punto medio) y pueden ser demostrados usando trazos auxiliares para formar triángulos congruentes.
Estas demostraciones son muy instructivas para el aprendiz pues, además de ser instancias de uso de la congruencia de triángulos, dejan una lección sobre las condiciones que debe cumplir un cuadrilátero para ser paralelogramo. (Línea media se acostumbra llamar al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo.)
La línea media de un triángulo es paralela a la base y mide la mitad de ésta.
Demostración:
Tracemos la línea media MN de los lados AB y AC del triángulo ABC. El trazo auxiliar que necesitamos es prolongar MN hasta D de tal manera que MN=ND. (Nota: la demostración es clásica y es instructiva de cómo usar trazos auxiliares en la solución de problemas geométricos.)
Los triángulos MNA y DNC son congruentes (criterio LAL).
De aquí que los ángulos MAN y NCD son guales. Como son alternos internos se concluye que CD//MB. También por congruencia, MA=DC.
Pero entonces tenemos que MBCD es paralelogramo (dos opuestos iguales y paralelos). Así que, como MBCD es paralelogramo, se puede concluir que MN//BC y 2MN=BC, como se quería.
Comentario:
Es conveniente que el lector practique en otros ejercicios los argumentos “alternos internos iguales, luego paralelas” y “lados opuestos iguales y paralelos, luego paralelogramo” (de paso puede demostrar esto último usando un argumento de congruencia de triángulos).
La paralela a la base que pasa por el punto medio de un lado pasa también por el punto medio del otro lado.
Demostración:
Otra vez el trazo auxiliar que ayuda a la demostración es clásico y muy instructivo. Sea ABC el triángulo y N el punto medio de AC. Por N tracemos una paralela NM a la base BC. Vamos a demostrar que M es punto medio de AC.
El trazo auxiliar consiste en el segmento que une N con el punto medio K de la base BC. Este trazo nos permite aplicar el primer teorema de la línea media y asegurar KN//AB y KN=AB/2. Pero entonces:
--son iguales los ángulos KNC y MAN (por ser correspondientes),
--son iguales los ángulos CKN y NMA (por tener lados paralelos),
--NC=AN (por hipótesis).
(Datos: AN=NC, NM//BC, BK=KC.)
Conclusión: Los triángulos AMN y NKC son congruentes (criterio LAA).
De aquí que KN=AM. Pero, por ser línea media, 2KN=AB. Es decir, 2AM=AB como se quería.
(Nota: podría argumentarse también que KN=MB por ser MNKB paralelogramo, y…)