Aquí en esta discusión les mostraré una técnica muy utilizada en la resolución de problemas, el principio consta de que si tenemos n+1 objetos para acomodar en n cajas, entonces se cumplirá que en una caja habrá (despues de acomodar los objetos) al menos dos en una caja. Lo que acabo de mencionar está claro y supongo que no requiere pensarse mucho para convencerse de ello, les mostraré una serie de ejemplos para que vean la utilidad de esta herramienta.
Ejemplo1: Supongamos que elegimos 51 numeros de la serie 1, 2, 3,...,99, 100. Demostrar que almenos dos de ellos no tienen ningun primo en común que los divida.
Solución: Separemos nuestros 100 números en cincuenta parejas, tales que en cada pareja los números sean consecutivos...observemos la separación para que esté claro:
(1,2), (3,4), ..., (99,100) ahi estan nuestras cincuenta parejas, como en problema nos dice que elegimos 51 números...es claro (o fácil de probar) que vamos a tomar al menos una pareja completa, es decir los dos nímeros que la forman. Por otro lado observemos que las parejas son de la forma (k, k+1).
Ahora demostraré que cualesquiera dos numeros consecutivos no tienen ningín divisor primo en común. en este caso sigamos con (k) y (k+1).
Supongamos que existe un primo p que divide a ambos números a k y a k+1. Entonces p divide a la diferencia de estos, es decir p divide al número:
(k+1)-(k)=1, pero eso es en resultado absurdo, es decir p no puede dividir a 1. De ahi ese primo p que supusimos su existencia no existe. Con esto demostramos que la pareja que tomemos no tiene ningún divisor primo en comun.
Ejemplo 2: Consideremos un cuadrado de lado 1, coloquemos 17 puntos dentro o sobre los lados del cuadrado. Demostar que hay almenos dos puntos que estan a distancia de a lo mas $\frac{\sqrt{2}}{4}$
Solucion: Es facil demostrar que la diagonal del cuadrado es $\sqrt{2}$ si no se convencen usen pitagoras. Como queremos resolver este problema usando casillas, nos tenemos que hacer dos preguntas....cuales son los objetos?...y cuales son las cajas?
Primero que nada es calro que los objetos son los 17 puntos...pero y las cajas? pues la respuesta a eso es que...hay que construirlas!!! pero cuantas cajas...como? como los objetos a acomodar son 17....(el principio dice n+1) es decir de ahi podemos hacer n=16, es decir dividir nuestro cuadrado en 16 figuras iguales...
Entonces Dividamos nuestro cuadrado en 16 cuadraditos... por el principio de casillas hay almenos 2 puntos en un cuadradito...la distancia maxima en un cuadrado es su diagonal...esto es facil de demostrar....por otro lado la diagonal de los nuevos cuadrados mide $\frac{\sqrt{2}}{4}$ (si no se convencen demuestrenlo usando pitagoras)
Como 2 puntos estan en uno de los nuevos cuadrados y la distancia maxima es conocida...entonces se tiene lo pedido.
Aqui les pongo algunos
Aqui les pongo algunos ejercicios para que practiquen, los colocare por nivel de dificultad segun mi criterio.
Problema 1: Supongamos que tomamos 6 numeros(no dos iguales) de la serie 1, 2, 3,..., 10. Demostrar que hay dos que suman 11 entre los 6 que tomamos.
Problema 2: Consideremos un plano dimensional, elijamos 5 puntos de coordenadas enteras en el plano. Consideremos todas las rectas que se pueden formar entre estos puntos. Demuestre que hay almenos una recta que pasa por otro punto con coordenadas enteras.
Problema 3: Elijamos 9 puntos en un plano tridimensionatodos con coordenadas enterasl, consideremos todas las rectas que se pueden formar entre estos puntos. Demuestre que almenos una de estas rectas pasa por otro punto con coordenadas enteras.
Problema 4: Demuestre que en un conjunto de 6 personas, hay un grupo de 3 personas tales que, en ese grupo ninguno se conoce entre si, o todos se conocen entre si.
Problema 5: En cualquier numero de 16 digitos, demostrar que hay almenos una linea, tal que el producto de los numeros en esa linea, es un cuadrado perfecto.
Nota: al referirme a linea me refiero a tomar numeros consecutivos en el numero dado. por ejemplo, si tenemos el numero 3456, algunas lineas podrian ser 4, 456, 34,
Gracias por la colaboración
Gracias por la colaboración Brandon. Eres muy generoso.
No hay nada que agradecer, es
No hay nada que agradecer, es lo menos que se puede hacer por MaTeTaM, ademas debido a que tengo algo de tiempo libre me di el tiempo para crear esta discucion, por otro lado, a los que intenten los proplemas que propuse (los dos ejemplos se me ocurrieron de cosas que ya habia visto yo) y los 5 problemas propuestos son ejercicios que he hercho(o parecidos) el problema 2 fue del primer entrenamiento que tubimos de casillas y paridad el año antepasado. Mientras el tercer problema, es un resultado similar al segundo, solo que lo modifique para un plano tridimensional, los problemas 4, y 5 no son dificiles pero nesesitan un poco de persistencia, amenos que se les ocurra inmediatamente como hacerlos.
De cualquier forma para los que intenten los problemas pueden postear sus soluciones, o lo que logren obtener y pedir sugerencias, ya que estas nos dan un camino a seguir para la resolucion de un problema, aunque puede haber caminos mas cortos. Sin mas por el momento saludos!!
Muchas gracias Brandon :D, es
Muchas gracias Brandon :D, es un excelente material el que pones :D.
El problema 5 creo que sale en una edicion de la Olimpiada Japonesa de Matematicas (la OJM, prima de la OMM). Es un problema bastante interesante. El problema 4 me recuerda a los misteriosos numeros de Ramsey (te sacan de apuros en ese tipo de problemas).
Cuidate, y te agradezco nuevamente que te hayas tomado el tiempo para compartir esto :D.
Chequeen la pagina; es
Chequeen la pagina; es interesante
http://www.dma.eui.upm.es/MatDis/Seminario2/Ramsey.PDF [3]