Brandon me comentó en el problema "Bisectriz, ángulo recto y conjugados armónicos [1]" lo siguiente:
Hola Jesus, despus de ectudiar a lo que se refiere a la divicion armonica, haz armonico, conjugados armonicos....(los e encontrado de varias formas) me preguntaba, que resultados puedo llamar como conocidos y omitir demostraciones simplemente nombrar el por que?...como por ejemplo,
1.Sea ABC un triangulo Y X,Y,Z puntos sobre los lados BC, CA y AB sea X' la interseccion de YZ con BC, se tiene que AX, BY, CZ concurren si y solo si los puntos (B,X,C,X') forman un Haz armonico.
2.Sean A,B,C,D cuatro puntos en una recta(en ese orden) se tiene que si dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas entonces la tercera tambien lo es:
2.1 Los puntos (A,B,C,D) forman un Haz armonico
2.2 XB es la bisectriz interna del angulo AXC(X fuera de la recta)
2.3 XB y XD son perpendicularesEl resultado uno se deduce de una aplicacion directa de Ceva y Menelao a las rectas concurrentes y a los puntos Z,Y,X', y el segundo resulado se puede observar de la circunferencia de apolonio. Simplemente mencionar que son conocidos y ya, y que otros resultados hay de los conjugados armonicos?...bueno es todo saludos!!!!!
Por lo que me parece pertinente abrir este foro por si alguién quiere comentar algo al respecto. Experiencias, sugerencias y lo que sea es bueno.
Bueno Brandon, el problema 2
Bueno Brandon, el problema 2 se podría decir que es un resultado fundamental de la teoría de haces armónicos. Pero el problema 1 es sólo un ejercicio básico donde se pone en práctica el concepto de conjugados armónicos y los teoremas de Cheva y Menelao.
Entonces, yo diría que el problema 2 te lo valen fácil, pero el 1 ... más que valertelo creo que lo puedes obviar diciendo "por Cheva y Menelao se tiene que ...". Entonces, ambos resultados son admitidos.
Pero sobre todo son admitidos en la Olimpiada Internacional. Para la nacional es más complicado decirte si se valen, pues depende del problema que se trate. He sido coordinador de problemas en la nacional y nunca me ha tocado discutir si se vale o no un resultado. Pero creo que sí hay límites en los teoremas que se pueden emplear, pero una cosa sí te puedo decir, los problemas de la nacional están diseñados para resolverse sin ninguna de éstas técnicas: conjugados armónicos, haz armónico, proyectividades, etcétera.
Muchas gracias Jesus!!!lo que
Muchas gracias Jesus!!!lo que pasa que me surgio la duda, ya que cuando estaba estudiando haces armonicos, me ponian esos dos resultados como muy conocidos(incluso vi una solucion a un problema en una lista corta de IMO y decia el resultado es conocido....)Aun asi yo soy de la idea de que si un problema sale con alguna herramienta poco conocida, de todas formas demostrar los resultados usados, aunque teoremas no(se supone esos son problemas ya acreditados como ciertos, tales como los de Newton, Menelao, Ceva, Pascal, La Hire, entre muchisimos otros) Te comento que el articulo de Mathematical excalibur donde publican la solucion al problema que puse ya salio, y ponen un resultado por ciclicos(el mismo ciclico) pero omiten nombrar muchas cosas(es mas un problema de ve resolviendolo tu) y mencionan que se dan otras 6 soluciones con geometria plana pero solo ponen esa, por ahora intentare el problem corner del nuevo numero vere que tal esta ahora. Muchas gracias y sigo estudiando.Saludos