La derivada de $f(x)=ax^2+bx+c$ es $f'(x)=2ax+b$
Esta fórmula se puede obtener observando que $f$ es la combinación lineal de $x^2, x$ y 1. Planteando el cociente diferencial de cada una de esas funciones se obtiene el resultado por la linealidad de la derivada:
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh}{h}=2x$$
Tomando el límite cuando $h$ tiende a cero se obtiene que al derivada de $x^2$ es $2x$. De manera similar se obtiene que la derivada de $x$ es 1 y que la derivada de 1 es cero.