Dadas las funciones $f,g$, y las constantes $a,b$ se puede formar la función $H(x)=af(x)+bg(x)$. La propiedad de linealidad de la derivada consiste en el hecho de que:
La derivada de $H(x)=af(x)+bg(x)$ es $H'(x)=af'(x)+bg'(x)$
Para convencerse de la veracidad de esta propiedad basta con establecer el cociente diferencial de $ H $:
$$\frac{H(x+h)-H(x)}{h}=\frac{af(x+h)+bg(x+h)-af(x)-bg(x)}{h}$$
$$=\frac{af(x+h)-af(x)}{h}+\frac{bg(x+h)-bg(x)}{h}$$
Y después de factorizar la $a$ y la $b$ en los cocientes diferenciales, la propiedad queda establecida --una vez tomando límites cuando x se va a cero.