Dado que ya mañana lunes 19 de abril inicia la aplicación del examen ENLACE 2010 en todo México, en lo que se ha dado en llamar la Semana Nacional de la Evaluación, permítaseme comentar un problema típico de proporcionalidad inversa, un tema y un problema típico que seguramente estarán presentes en ENLACE 2010.
El problema
Una alberca se llena en 2 horas con la manguera A, y en 3 horas con la B. ¿En cuánto tiempo se llena con las dos mangueras juntas?
Consideraciones preliminares
Primero hay que tener el script de llenar una alberca o cualquier otro depósito de agua. Esta experiencia de vida posiblemente no la tengan la mayoría de los adolescentes (no porque no la hayan visto, sino porque no les interesa --es un hecho conocido que los adolescentes no se interesan en las situaciones adultas).
El problema es clásico en el tema de proporcionalidad inversa: "con más es menos", es decir, con las dos mangueras debe tardar menos en llenarse la alberca. Esto es algo de sentido común pero, en un examen, el sentido común es el menos común de los sentidos. (Se esperarían respuestas como "5 horas".)
Y tiene la estructura genérica de "tiempo para completar una tarea específica". Por tanto es un problema de eficiencias: A la termina en 2, B en 3 ¿En cuánto tiempo la terminan los dos juntos?
Obstáculos
Uno de los obstáculos principales --para encontrarle el hilo a la madeja-- en este tipo de problemas, es que uno de los datos está oculto, es invisible en el enunciado: la capacidad de la alberca, el tamaño de la tarea. Si se dijera "una alberca de 10000 litros" o "una barda de 10 m de longitud", posiblemente el cognizador podría razonarlo más fácilmente (la eficiencia de A es 5000 litros por hora, 5 metros por hora).
Didáctica
Desde un punto de vista didáctico puede ser conveniente hacer que el aprendiz resuelva problemas de este tipo explicitando el dato del tamaño de la tarea y, en un segundo nivel de dificultad, hacer que los resuelva con el enunciado clásico. (Podría ser, pero desde hace tiempo se ha hecho evidente que nada de lo que concierne a la didáctica de las matemáticas es ya evidente. La única solución evidente --para el problema de elevar el desempeño-- es una que no puede ser ejecutada: elevar el nivel de exigencia. Las razones de esa infactibilidad están al final de este post.)
Posible razonamiento tabular
Una vez que el cognizador se da cuenta de que el dato clave es la eficiencia (fracción de la tarea completada por hora), entonces ya puede empezar a pensar el problema de manera clara. Y, a darse cuenta de que ese es el dato clave, se puede llegar razonando de la siguiente manera: "en 2 horas todo, en 1 hora la mitad, en 1/2 hora la cuarta parte,..." Después de eso podría ocurrírsele llenar una tabla como la siguiente (con el método de adivinar y verificar):
| Tiempo | contribución de A | contribución de B | Total |
|---|---|---|---|
| 1 hora | 1/2 alberca | 1/3 alberca | 1/2+1/3=5/6 |
| 1/2 hora | 1/4 alberca | 1/6 alberca | 1/4+1/6=5/12 |
Etcétera. Y se puede dar cuenta (posiblemente, pero no es seguro) que como 5/6+5/12=15/12 entonces, con hora y media, el agua excede una alberca y, en consecuencia, la respuesta debe estar entre una hora y una hora y media. Y tiene que seguir buscando. Por ejemplo, calculando ahora la fracción de alberca que se llena con 1/4 de hora.
Otras dificultades
Notemos que una dificultad adicional es el uso de quebrados. Para evitar esto, el cognizador puede usar minutos (en el tiempo), y decimales (en la alberca). Pero entonces necesita la habilidad de conversión de horas a minutos y de quebrados a decimales. (¿Es mucho pedir? Bueno, a como están las cosas en la educación, cualquier respuesta podría ser la correcta.)
Y, bueno, habría que decir también que una tarea compleja requiere concentración, y una actitud positiva hacia la superación de obstáculos. Y estas competencias ya no son cognitivas sino que están en el plano de los afectos. No son cognitivas pero son una de las condiciones necesarias para que el aparato cognitivo empiece a funcionar --algo así como el motor de arranque de la cognición...
Solución algebraica
Aunque la verdad no creo que se enseñe en la secundaria (a pesar de que está en el programa), la solución algebraica sería más o menos así:
Sea $t$ el tiempo buscado (de llenado de la alberca con las dos mangueras). Entonces, dado que la eficiencia conjunta es $1/2+1/3=5/6$ (es decir, 5/6 de alberca por hora), la ecuación que resuelve el problema es $(5/6)t=1$. Es decir, $t=6/5$ =una hora+1/5 de hora. ¿Y cuánto es 1/5 de hora? (Otra vez la conversión de horas a minutos --parece trivial pero...). Bueno, saquen las cuentas y verán que la solución es una hora y 12 minutos.
Otra posibilidad de razonarlo
Notemos que de la solución algebraica se deriva una posibilidad de razonar el problema sin álgebra: las dos mangueras juntas tienen una eficiencia de 5/6; por tanto, en una hora la alberca se llena hasta 5/6 --y falta 1/6 por llenar ¿no es cierto? El problema entonces se convierte en ¿cuánto tiempo se necesita para que las dos mangueras llenen 1/6 de la alberca?
Parece de la misma dificultad que el original pero, si observamos la tabla iniciada al principio --y nos quedamos solamente con las columnas extremas--, entonces veríamos que, al tomar la mitad del tiempo, se tiene la mitad del volumen en la alberca (y esto sí que es proporcionalidad directa)... ¿y qué tenemos?
| Tiempo | Total |
|---|---|
| 1 hora | 1/2+1/3=5/6 |
| 1/2 hora | 1/4+1/6=5/12 |
Lo que tenemos es que si queremos 1/6 en la columna del volumen llenado, entonces tenemos que tomar 1/5 de hora ¿cierto?
Variación inversa en su forma clásica
La forma clásica de presentar la variación proporcional inversa es mediante la ecuación $xy=k$, donde $x,y$ son las cantidades en variación inversa y $k$ es una constante (distinta de cero).
La forma de modelar el problema de acuerdo a la forma clásica de presentar la variación inversa no es para nada evidente en este problema. Porque, primero hay que identificar las dos cantidades en variación inversa. (Después de pensarle un rato debería ser claro que las cantidades en variación inversa son el tiempo en horas y las albercas llenadas.)
Pero lo que presenta más dificultad en la modelación matemática son las mangueras. Aunque, otra vez, después de meditarlo un rato, debería ser claro que cada manguera tiene asociado (para propósitos del problema) un abasto de agua --denominado gasto, en el negocio de la hidráulica, es decir, volumen entregado por unidad de tiempo.
Y como el volumen entregado por unidad de tiempo hay que medirlo en unidades de alberca, entonces ello es una dificultad adicional de modelación. En términos del enunciado entonces, el gasto es de hecho una eficiencia, pues es el número de albercas llenadas por unidad de tiempo (la alberca es la unidad de medida de la tarea realizada).
Sea pues $G$ el gasto de la manguera A y $g$ el de la manguera B. Entonces $(G+g)t=1$. Pero el gasto $G$ de la maguera A es $G=1/2$ (media alberca por hora o una alberca cada dos horas) y el gasto $g$ de la manguera B es $g=1/3$ (un tercio de alberca por hora o una alberca cada 3 horas). De aquí que la ecuación que representa el problema es $(1/2+1/3)t=1.$ Como ya sabíamos, pero ahora en concordancia con la forma clásica de presentar la variación proporcional.
Resumen
El problema se puede resolver con tabla, pero antes hay que llegar a (y ejecutar) un razonamiento proporcional inverso para obtener la eficiencia conjunta. Las dificultades previstas para los cognizadores adolescentes son:
- El dato invisible del volumen de la alberca (es inverosímil que puedan razonarlo tomando como unidad una alberca, si antes no han resuelto problemas parecidos).
- El obstáculo de las escasas ganas de triunfar: con el método tabular (el más accesible para todos), la mayoría abandona antes de iniciar el tercer intento (al tener actitudes negativas hacia el esfuerzo y la superación de obstáculos).
- Los quebrados y la transformación de unidades (horas a minutos y quebrados a decimales).
- La ausencia de la competencia de modelar algebraicamente problemas razonados.
- (que complete la lista el lector...)
¿Por qué este tipo de problemas nunca van a entrar al aula?
Dejando de lado el hecho de que una buena cantidad de profes tampoco lo saben resolver, la respuesta es que, a partir de una cierta dificultad, cualquier tema queda implícitamente vetado (es un acuerdo no explícito entre los actores escolares). Es por eso que este tipo de problemas no se adaptan a la dinámica del aula. Son unos inadaptados, no encajan en la superficialidad de las lecciones típicas y son potencialmente problemáticos en un sentido social.
Porque los alumnos no tienen ni los conocimientos previos necesarios para entenderlos, ni las ganas de empezar a entenderlos. ¿Consecuencias? Quejas de los alumnos y los padres de familia sobre la didáctica del profesor (¡no le entendemos!). Y las quejas le llegan rápidamente a la directora. Etcétera, etcétera.
Y todo mundo sabe que el profesor que intentó alguna vez enseñar algo intrínsecamente difícil, con extrema facilidad adquiere el status de que no sabe enseñar. Resultado: ese profe nunca va a reincidir en sus intentos de enseñar a sus alumnos a razonar matemáticamente ("que Dios los ayude... y a mí que no me olvide). Ni bueno ni malo, es sólo un hecho de la vida real del aula y de la administración escolar mexicanas.
Los saluda
jmd
PD: Aquí está un video de youtube [1] (en inglés) que explica impecablemente la noción de variación proporcional inversa.