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Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$.  Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A$ y en $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.

Sea $n$ un natural mayor que 2. Supongamos que $n$ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:

Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$