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A mitad de semana :D

Samuel Elias — Wed, 14 May 2025 23:55:18 +0000

Hola a todos. Les escribo este blog para recordarles que aún están a tiempo de inscribirse a la Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas. Les agradezco muchísimo a todos los alumnos que se han inscrito, y a todos aquellos que le han dado el apoyo a la difusión :).

Quiero usar este espacio porque varios de los concursantes han preguntado si vamos a compartir las soluciones a los problemas. La respuesta es sí, pero al menos 1 día después de que cierren los exámenes. Las soluciones y los problemas serán publicados por este medio, y al final del año (diciembre) se juntarán en el mismo PDF todos los problemas con sus respectivas soluciones.

Empieza el proceso de la XXXIX OMM

Samuel Elias — Sun, 04 May 2025 04:49:40 +0000

Ya salió la convocatoria de la XXXIX Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas para las 3 modalidades (OMM, OMMEB y Femenil :D), misma que puede ser encontrada en la página de Facebook y en la página de Instagram.

Debido a que Matetam es también una comunidad, mencionaré por este blog la modalidad de los exámenes para OMM y OMM Femenil (para información de OMMEB contáctese con la maestra Montserrat Ávila).

P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 23:14:09 +0000

Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números:

$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$

El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria?

P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 23:05:29 +0000

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:59:32 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:55:37 +0000

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
$\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico.

P2. Divisores consecutivos

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:45:19 +0000

Determina todas las parejas de enteros $(a, b)$ que satisfacen:

$5 \leq b < a$
Existe un número natural $n$ tal que los números $\frac{a}{b}$ y $a-b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor $d$ de $n$ tal que $\frac{a}{b} < d < a-b$

P1. Rompecabezas especial

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:41:31 +0000

En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?

Resultados XXXVIII OMM

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:32:38 +0000

Hola. Les escribo desde mi casa, pero ahora mi casa de CDMX. A partir de este año, como algunos ya sabrán, a los nacionales que vaya iré como codelegado (aunque este fui de visitante XD). No pude estar presente toda la semana por motivos escolares, pero ahí anduve.

Tenemos noticias buenas y malas. La mala, y la única, es que Tamaulipas quedó en lugar 26. Igualmente nadie debe sentirse mal por ese resultado, este año tuvimos a puros nuevos. El único que repetía era Edu y apenas es su segundo año en la olimpiada en general.

P6. La lista de Germán

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:16:47 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que si en la lista pertenecen (1, 1, -1, -1), entonces la suma y el producto de los números de la lista no se ve afectada.

Solución

Solución:

Observe que podemos agregar +1-1+1-1 tanto a la suma como al producto y estos permanecerán igual. Como estamos agregando 4 elementos, entonces trabajaremos en módulo 4.

6=6. De aquí la respuesta es $n=1$. Como $1 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 1$.

(-6)(-1)$(1^{13})$=-6-1+13(1). De aquí la respuesta es $n=15$. Como $15 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 15$.

Observa que el caso (-1)(-1)(6) es analogo al caso 6=6. Asimismo, el caso (-6)(1) es analogo al (-6)(-1).

(2)(3)(1)=2+3+1. De aquí la respuesta es $n=3$. Como $3 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 3$, y como ya obtuvimos esta respuesta anteriormente, entonces la respuesta 2 esta contenida en este conjunto de soluciones.

(-2)(-3)$(1^{11})$=-2-3+11(1). De aquí la respuesta es $n=13$. Como $13 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 13$, que está contenida dentro de las respuestas del punto 1.

(-2)(3)(-1)$(1^6)$=-2+3-1+6(1). De aquí la respuesta es $n=9$. Como $9 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 9$ que está contenida en las respuestas del punto 1.

(-3)(2)(-1)$(1^8)$=-3+2-1+8(1). De aquí la respuesta es $n=11$. Como $11 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 11$ que ya esta contenida en el punto 4.

Entonces, todas las respuestas son $n\equiv \pm1 \pmod 4 \ \forall \ n \in \mathbb{N}$