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De vuelta a casa

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:46:22 +0000

Este fin de semana fueron los selectivos rumbo a la OMM. Extrañaba mucho la experiencia de estos concursos. Vamos a comentar un poco sobre los problemas.

P6. Desigualdades Tamaulipas para un número real

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:32:03 +0000

Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$

Demuestra que $c \geq 1$.

Sugerencia

Sugerencia:

Contradice $c<1$. Pasa multiplicando denominadores y hazte los casos cuando $a \geq b$ y cuando $a<b$.

Solución

Solución:

Queremos demostrar que $a(a+1)=b(b+c)$. Si $c<1$, tenemos los siguientes 2 casos:

Si $a\geq b$, entonces $a(a+1)\geq b(b+1)>b(b+c)$.
Si $a<b$, entonces $\frac{a+1}{b+c}>1 \iff a+1>b+c \iff a>b+c-1$ pero $b+c-1>b-1\geq a$.

Por lo tanto, $c \geq 1$.

P5. Revive la Geocombi en un 15-ágono regular

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:29:02 +0000

En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?

Sugerencia

Sugerencia:

¿Talacha? Analiza los casos posibles de la medida de cada lado de los triángulos.

Solución

Solución:

Vamos a hacer la talacha completa de mostrar todos los triángulos únicos basándonos en la distancia de los arcos. \textbf{Nota:} Un arco tiene distancia $x$ si entre dos puntos del arco hay $x-1$ puntos contenidos en este arco. En total, hay 15 arcos.

Si un lado del triángulo tiene distancia 1, entonces los otros dos arcos deben sumar distancia 14. Es decir, queremos encontrar todos los naturales $a,b$ tales que $a+b=14$. Como el caso $(a,b)$ es igual al $(b,a)$ (porque el triángulo $(1,a,b)$ es congruente con $(1,b,a)$), sólo hay 7 casos
Si un lado del triángulo tiene distancia 2, entonces $a+b=13$, que son 5 casos porque ya contamos el 1+12.
Si un lado tiene distancia 3, $a+b=12$, 4 casos.
Si hay distancia 4, $a+b = 11$. 2 casos
Si hay distancia 5, $a+b=10$ 1 caso.

Todos los demás casos ya están incluídos en estos puntos, por lo que la respuesta es 19.

P4. 4 números en el 4 del selectivo

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:26:18 +0000

Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$

Sugerencia

Sugerencia:

Problema 4... cuaternas... Usa módulo 4 al fallo.

Solución

Solución:

Note que si $k \leq 1$, el lado izquierdo es al menos 4 mientras que el lado derecho es a lo más 2. Entonces, $k \geq 2$. Como $2^k \equiv 0 \pmod 4$, analicemos el problema en módulo 4. Son hechos conocidos:

$x^2 \equiv 0,1 \pmod 4$
$p^2 \equiv 1 \pmod 4 \ \forall \ p\geq3$

Entonces tenemos los siguientes casos:

Si $p \neq 2$, entonces $p^2 \equiv 1 \pmod 4$. Esto quiere decir que queremos que $a^2+b^2+1 \equiv 0 \pmod 4$ lo cual es imposible, ya que $1 \leq a^2+b^2+1 \leq 3 \pmod 4$.
Concluimos que $p=2$ entonces queremos que $a^2+b^2 \equiv 0 \pmod 4$, lo cual solo es posible si $a,b \equiv 0,2 \pmod 4$. Es un hecho conocido que estas dos congruencias son los número pares.

Sea $a^2=4A^2, \ b^2=4B^2$ con $A, B$ enteros no negativos. Entonces $A^2+B^2=2^{k-2}-1$. Volviendo a usar $\pmod 4$, note que:

Si $k\geq4$ entonces el lado derecho es $\equiv -1 \pmod 4$, pero el lado izquierdo es $\equiv 0,1 \pmod 4$. Entonces $k \leq 3$.
Si $k=3$, queremos que $A^2+B^2=1$. Esto solo es posible si $A$ ó $B=1$ y el otro vale 0. Entonces obtenemos las cuaternas $(2, 0, 2, 3)$ y $(0, 2, 2,3)$.
Si $k=2$, entonces $A^2+B^2=0$, y solo es posible si $A=B=0$, entonces se obtiene la cuaterna $(0,0,2,2)$.

Entonces las únicas soluciones son $(2,0,2,3), \ (0,2,2,3), \ (0,0,2,2)$.

P3. Coloreando la recta numérica

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:21:38 +0000

Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:

El número $1$ es rojo.
Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.

Determina el color del número $2025$.

Sugerencia

Sugerencia:

¿De qué color es el 0? Demuestra que todos los múltiplos de 3 son azules

Solución

Solución:

Al ser el 1 rojo, podemos tomar $a=b=1$. El 0 no es rojo porque si lo fuera, podríamos tomar $a=1, b=0$ y darnos cuenta que $1+0=1-0, 1-0=1+0$ deben de ser de diferente color, lo cual es absurdo. Entonces el 2 es rojo. Usando $a=2, b=1$, llegamos a que el 3 es azul. Ahora, usando el mismo argumento de que el 2 es rojo, el 4 también es rojo. El 5 es rojo usando $a=4, b=1$. El 6 es azul con $a=4, b=2$. El 7 es rojo con $a=5, b=2$. El 8 es rojo usando $a=b=4$. El 9 es azul usando $a=5, b=4$.

Observando este patrón vamos a demostrar que todos los múltiplos de 3 son azules, mientras que todos los demás números son rojos con inducción fuerte. Ya tenemos el caso base $k=1$ Nuestra hipótesis de inducción es que para todos los números del 1 al $3k$, si $x \equiv 0 \pmod 3$, entonces $x$ es azul. De lo contrario, es rojo.

El número $3k+1$ es rojo. Como $3k-1, 2$ son rojos y $3k-3$ es azul, entonces $3k+1$ es rojo.
$3k+2$ es rojo. Usa $3k+1$ y $1$.
$3k+3$ es azul, usando $3k+1$ y 2.

Por lo tanto, como los múltiplos de 3 si son azules, y 2025 es múltiplo de 3, entonces 2025 es azul.

P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:17:12 +0000

Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.

Sugerencia

Sugerencia:

Utiliza el truco de Gauss con la condición de las parejas de dígitos.

Para minimizar dígitos, coloca estratégicamente el 1 y los ceros.

Solución

Solución:

Usando el truco de Gauss, nos damos cuenta que $3n = 4050 \iff n=1350$, por lo que $m$ es de 1350 dígitos. Como queremos el menor $m$, el último dígito debe ser 1, lo que implica que el primer dígito debe ser 2 (de derecha a izquierda, porque $a_1$ está a la derecha). Ahora, el 1 está seguido de 674 ceros y 674 tres`s para que siga cumpliendo la condición de ser tamaulipeco y minimizar $m$. Por lo que $$m=1000\dots 0333333\dots 332$$

P1. 24 sí y solo sí 48

Samuel Elias — Wed, 23 Jul 2025 00:15:19 +0000

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.

Sugerencia

Sugerencia:

Ida y Vuelta. Asume primero que $\angle DBC=24^{\circ}$ para demostrar que $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$. Después asume la segunda afirmación para demostrar la primera.

Solución

Solución:

$\angle ABD = \angle ADB \Rightarrow \angle BAC = 180^{\circ}-2 \angle ADB = 180^{\circ}-\angle ABC - \angle ACB \Rightarrow 2\angle ADB = \angle ABC + \angle ACB$. Así mismo, $\angle ADB=\angle DBC + \angle ACB$.

Entonces $\angle DBC = 24^{\circ} \iff \angle ADB = 24^{\circ} + \angle ACB = \angle ABD \iff \angle ABC = \angle 48^{\circ} + \angle ACB \iff \angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ} + \angle ACB - \angle ACB = 48^{\circ}$.

\begin{center}

P6. Matilda colocando fichas en la cuadrícula

Samuel Elias — Sat, 19 Jul 2025 14:26:18 +0000

Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.

Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.

P5. Jugando con ecuaciones raras

Samuel Elias — Sat, 19 Jul 2025 14:21:43 +0000

Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$

Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos.

P4. Divisores propios en una sucesión infinita

Samuel Elias — Sat, 19 Jul 2025 14:14:33 +0000

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.

La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.

Determina todos los valores posibles de $a_1$.