Publicaciones Recientes https://www.matetam.com/publicaciones_recientes/%22/de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/congruencia-triangulos-como-nocion-intuitiva-y-su-f es P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3 https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-borrando-pizarron-ambos-sumen-un-multiplo-3 <p>Ana y Beto juegan en un pizarr&oacute;n donde se han colocado los n&uacute;meros del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres n&uacute;meros $a,b,c$ escritos en el pizarr&oacute;n y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los n&uacute;meros:&nbsp;</p> <p>$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$</p> <p>El juego termina cuando quedan solamente dos n&uacute;meros y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los n&uacute;meros que quedan al final es m&uacute;ltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. &iquest;Qui&eacute;n puede asegurar su victoria?&nbsp;</p> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-borrando-pizarron-ambos-sumen-un-multiplo-3#comments Combinatoria Avanzado XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 23:14:09 +0000 Samuel Elias 4140 at https://www.matetam.com P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p5-conjuntos-infinitos-iguales-y-uno-sucesion-aritmetica <p>Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de n&uacute;meros reales positivos tales que:</p> <ul> <li> Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$</li> <li> Para cualquier par de elementos $s &gt;&nbsp;t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$</li> </ul> <p>Prueba que $A=B$ o existe un n&uacute;mero real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$</p> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p5-conjuntos-infinitos-iguales-y-uno-sucesion-aritmetica#comments Combinatoria Avanzado XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 23:05:29 +0000 Samuel Elias 4139 at https://www.matetam.com P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro https://www.matetam.com/problemas/geometria/p4-cuarta-concurrencia-un-ortocentro <p>Sea $ABC$ un tri&aacute;ngulo acut&aacute;ngulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del tri&aacute;ngulo $HPQ$.</p> https://www.matetam.com/problemas/geometria/p4-cuarta-concurrencia-un-ortocentro#comments Geometría Intermedio XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 22:59:32 +0000 Samuel Elias 4138 at https://www.matetam.com P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella https://www.matetam.com/problemas/geometria/p3-hexagono-puntos-medios-dodecagono-estrella <p>Sea $ABCDEF$ un hex&aacute;gono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:</p> <ul> <li> El dodec&aacute;gono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales</li> <li> $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$&deg;, donde todos los &aacute;ngulos son menores a 180&deg;</li> </ul> <p>Demuestra que $&Alpha;_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es c&iacute;clico.&nbsp;</p><p><a href="https://www.matetam.com/problemas/geometria/p3-hexagono-puntos-medios-dodecagono-estrella" target="_blank">leer más</a></p> https://www.matetam.com/problemas/geometria/p3-hexagono-puntos-medios-dodecagono-estrella#comments Geometría Experto XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 22:55:37 +0000 Samuel Elias 4137 at https://www.matetam.com P2. Divisores consecutivos https://www.matetam.com/problemas/numeros/p2-divisores-consecutivos <p>Determina todas las parejas de enteros $(a, b)$ que satisfacen:</p> <ul> <li> $5 \leq b &lt; a$</li> <li> Existe un n&uacute;mero natural $n$ tal que los n&uacute;meros $\frac{a}{b}$ y $a-b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor $d$ de $n$ tal que $\frac{a}{b} &lt; d &lt; a-b$</li> </ul> <p><strong style="font-size: 1.2rem;">NOTA Extra:&nbsp;</strong>Este problema fue propuesto por nuestro querid&iacute;simo Germ&aacute;n Puga :D</p> https://www.matetam.com/problemas/numeros/p2-divisores-consecutivos#comments Números Intermedio XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 22:45:19 +0000 Samuel Elias 4136 at https://www.matetam.com P1. Rompecabezas especial https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p1-rompecabezas-especial <p>En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usar&aacute; como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). &iquest;Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?&nbsp;</p><p><a href="https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p1-rompecabezas-especial" target="_blank">leer más</a></p> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p1-rompecabezas-especial#comments Combinatoria Intermedio XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 22:41:31 +0000 Samuel Elias 4135 at https://www.matetam.com Resultados XXXVIII OMM https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxviii-omm <a href="/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxviii-omm"></a><a href="/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxviii-omm"></a><p>Hola. Les escribo desde mi casa, pero ahora mi casa de CDMX. A partir de este a&ntilde;o, como algunos ya sabr&aacute;n, a los nacionales que vaya ir&eacute; como codelegado (aunque este fui de visitante XD). No pude estar presente toda la semana por motivos escolares, pero ah&iacute; anduve.</p> <p>Tenemos noticias buenas y malas. La mala, y la &uacute;nica, es que Tamaulipas qued&oacute; en lugar 26. Igualmente nadie debe sentirse mal por ese resultado, este a&ntilde;o tuvimos a puros nuevos.&nbsp;<span style="font-size: 1.2rem;">El &uacute;nico que repet&iacute;a era Edu y apenas es su segundo a&ntilde;o en la olimpiada en general. </span></p><p><a href="https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxviii-omm" target="_blank">leer más</a></p> https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxviii-omm#comments XXXVIII OMM 2024 Sun, 10 Nov 2024 22:32:38 +0000 Samuel Elias 4134 at https://www.matetam.com P6. La lista de Germán https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-lista-german <p>Sea $n$ un entero positivo. Germ&aacute;n tiene una lista de $n$ n&uacute;meros enteros. Si suma todos sus n&uacute;meros, obtiene 6. Si los multiplica, tambi&eacute;n obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.&nbsp;</p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Observa que si en la lista pertenecen (1, 1, -1, -1), entonces la suma y el producto de los n&uacute;meros de la lista no se ve afectada.</p> </div> </div> </div> </fieldset> <fieldset class="fieldgroup group-sol-sep"><legend>Solución</legend><div class="field field-type-text field-field-sol"> <div class="field-label">Solución:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div> Observe que podemos agregar +1-1+1-1 tanto a la suma como al producto y estos permanecer&aacute;n igual. Como estamos agregando 4 elementos, entonces trabajaremos en m&oacute;dulo 4.</div> <div> &nbsp;</div> <div> &nbsp; &nbsp; 6=6. De aqu&iacute; la respuesta es $n=1$. Como $1 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 1$.</div> <div> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(-6)(-1)$(1^{13})$=-6-1+13(1). De aqu&iacute; la respuesta es $n=15$. Como $15 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 15$.</div> <div> &nbsp; &nbsp; Observa que el caso (-1)(-1)(6) es analogo al caso 6=6. Asimismo, el caso (-6)(1) es analogo al (-6)(-1).</div> <div> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(2)(3)(1)=2+3+1. De aqu&iacute; la respuesta es $n=3$. Como $3 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 3$, y como ya obtuvimos esta respuesta anteriormente, entonces la respuesta 2 esta contenida en este conjunto de soluciones.</div> <div> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(-2)(-3)$(1^{11})$=-2-3+11(1). De aqu&iacute; la respuesta es $n=13$. Como $13 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 13$, que est&aacute; contenida dentro de las respuestas del punto 1.</div> <div> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(-2)(3)(-1)$(1^6)$=-2+3-1+6(1). De aqu&iacute; la respuesta es $n=9$. Como $9 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 9$ que est&aacute; contenida en las respuestas del punto 1.</div> <div> &nbsp;</div> <div> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(-3)(2)(-1)$(1^8)$=-3+2-1+8(1). De aqu&iacute; la respuesta es $n=11$. Como $11 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 11$ que ya esta contenida en el punto 4.</div> <div> &nbsp;</div> <div> Entonces, todas las respuestas son $n\equiv \pm1 \pmod 4 \ \forall \ n \in \mathbb{N}$</div> </div> </div> </div> </fieldset> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-lista-german#comments Combinatoria Números Intermedio Selectivo Final OMM Tamaulipas 2024 Sat, 19 Oct 2024 20:16:47 +0000 Samuel Elias 4133 at https://www.matetam.com P5. Dos circunferencias, una perpendicular. https://www.matetam.com/problemas/geometria/p5-dos-circunferencias-una-perpendicular <p>Sea $ABC$ un tri&aacute;ngulo acut&aacute;ngulo y $\omega$ su circunc&iacute;rculo. Sea $\Gamma$ un c&iacute;rculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto&nbsp; $E$. Sea $K$ la intersecci&oacute;n de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ est&eacute; sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.</p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Como $A$ es centro de $\Gamma$, entonces tendremos varios tri&aacute;ngulos is&oacute;sceles. Observa que hay &aacute;ngulos que abren arcos de circunferencias distintas. Utiliza que una bisectriz tambi&eacute;n es altura de un tri&aacute;ngulo is&oacute;sceles.&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p> <p>Demuestra que $K$ es el ortocentro de $ABC$</p> </div> </div> </div> </fieldset> <fieldset class="fieldgroup group-sol-sep"><legend>Solución</legend><div class="field field-type-text field-field-sol"> <div class="field-label">Solución:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div> Vamos a usar la propiedad de que 1 &aacute;ngulo central es igual al doble de su &aacute;ngulo inscrito que abra el mismo arco.&nbsp;</div> <div> &nbsp;</div> <div> $\angle DAK=2\angle DEK=$ y $\angle DEK=\angle DAB$, y como $AD=AK$, entonces $AB$ es todotriz de $\angle DAK$.&nbsp;</div> <div> &nbsp;</div> <div> $\angle KAE=2\angle KDE$ y $\angle KDE=\angle CAE$, entonces $AC$ es todotriz de $\angle EAK$.&nbsp;</div> <div> &nbsp;</div> <div> Con esto concluimos que $K$ es el ortocentro del tri&aacute;ngulo $ABC$.</div> </div> </div> </div> </fieldset> https://www.matetam.com/problemas/geometria/p5-dos-circunferencias-una-perpendicular#comments Geometría Avanzado Selectivo Final OMM Tamaulipas 2024 Sat, 19 Oct 2024 20:12:48 +0000 Samuel Elias 4132 at https://www.matetam.com P4. Ceros y Unos en un pizarrón. https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p4-ceros-y-unos-un-pizarron <div> Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ n&uacute;meros escritos en el pizarr&oacute;n: $n$ 0&rsquo;s y $n$ 1&rsquo;s. Una movida consiste en escoger dos n&uacute;meros del pizarr&oacute;n, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un n&uacute;mero.</div> <ul> <li> <span style="font-size: 1.2rem;">&iquest;Para qu&eacute; valores de $n$ te puede quedar un n&uacute;mero par?</span></li> <li> &iquest;Para qu&eacute; valores de $n$ te puede quedar un n&uacute;mero impar?</li> </ul> <div> &nbsp; &nbsp;&nbsp;</div> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Invarianza? Observa que la paridad de la suma no cambia. &iquest;C&oacute;mo se comporta un movimiento de forma individual?</p> </div> </div> </div> </fieldset> <fieldset class="fieldgroup group-sol-sep"><legend>Solución</legend><div class="field field-type-text field-field-sol"> <div class="field-label">Solución:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div> Vamos a usar el siguiente lema</div> <div> &nbsp;</div> <div> <strong>Lema 1</strong>: La paridad de la suma de los n&uacute;meros en el pizarr&oacute;n nunca cambia.</div> <div> &nbsp;</div> <div> Notemos que si eliminamos dos n&uacute;meros iguales (digamos $a$) y agregamos un 0, entonces la suma disminuy&oacute; por $2a$ y aument&oacute; por 0. Entonces la suma cambi&oacute; por un n&uacute;mero par por lo que su paridad no cambia. Si eliminamos dos n&uacute;meros diferentes, entonces tiene que ser un 0 y un 1, y agregamos un 1, entonces la suma disminuy&oacute; en 1 y aument&oacute; en 1 por lo que permaneci&oacute; igual. Entonces la paridad no cambia.</div> <div> &nbsp;</div> <div> C&oacute;mo los n&uacute;meros en el pizarr&oacute;n eran originalmente 0&#39;s y 1&#39;s, y cada vez que agregamos un n&uacute;mero es un 0 o un 1, entonces &uacute;nicamente solo habr&aacute;n 0&#39;s y 1&#39;s en el pizarr&oacute;n.</div> <div> &nbsp;</div> <div> Si $n$ es impar entonces la suma original del pizarr&oacute;n es $n$ que es impar por lo que el n&uacute;mero final tendr&aacute; que ser impar para preservar la paridad por lo que ser&aacute; un 1. Si $n$ es par entonces la suma original es $n$ que es par lo que lo el n&uacute;mero final tendr&aacute; que ser 0 para preservar la paridad.&nbsp;</div> <div> &nbsp;</div> </div> </div> </div> </fieldset> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p4-ceros-y-unos-un-pizarron#comments Combinatoria Intermedio Selectivo Final OMM Tamaulipas 2024 Sat, 19 Oct 2024 20:08:46 +0000 Samuel Elias 4131 at https://www.matetam.com