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Comentarios del Estatal 2025

Samuel Elias — Mon, 16 Jun 2025 05:16:11 +0000

Ya hablé del femenil, ahora toca hablar del concurso Estatal. El evento presencial más grande del año en Tamaulipas.

Problema 1: Sabiendo separadores y la fórmula de $\frac{n!}{p_1!p_2!\dots p_k!}$ el problema se mata en 1 minuto. De no ser así, haciéndote la talacha completa pudo haber sido otra forma... (cero recomendado)

Problema 2: Aquí había que darse cuenta que sumar el doble es equivalente a multiplicar por 3. El resto era poner la respuesta.

Resultados IV OMMFEM

Samuel Elias — Mon, 16 Jun 2025 05:00:25 +0000

Tamaulipas no deja de traer excelentes resultados en sus concursos. Sé que muchos dirán que tuvimos un bajón esta XXXVIII OMM, pero la neta era de esperarse. I) Casi no entrenamos, II) todos eran repetidores (excepto Edu), III) el examen estuvo difícil.

Aún así, esta femenil fue el escenario perfecto para demostrar que nuestro estado sigue como el Dani nos lo dejó, trayendo 1 medalla de oro y 1 medalla de bronce. Los resultados por concursante fueron los siguientes:

Nivel I:

Alma Carolina Reyna Moreno, ORO
Mía Navil Ávalos Covarrubias
Vanessa Yushigey Osorio Muñoz

Nivel II:

P8. Permutando 2n números y múltiplos.

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 08:12:42 +0000

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números

$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$

son todos múltiplos de $m$.

Sugerencia

Sugerencia:

Demuestra que $m$ es primo impar.

P7. Contando el producto ij.

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 08:07:44 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.

P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 07:57:44 +0000

Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$

Sugerencia

Sugerencia:

Primero haz anguleo. Luego busca triángulos semejantes que sean convenientes y construye las razones de semejanza.

Solución

Solución:

Note que todos estos ángulos son iguales por los cíclicos:

$$\angle DAC = \angle CBE = \angle CFE = \angle DGE$$

$$\angle ADB = \angle ACB = \angle EGB = \angle EFA$$

$$\angle CAB = \angle CDB$$

Con esto es fácil observar las siguientes semejanzas por $AA$:

$$\triangle AFC \sim \triangle DGB \Rightarrow \frac{AF}{DG} = \frac{AC}{DB}$$

$$\triangle APC \sim \triangle BQD \Rightarrow \frac{AP}{BQ} = \frac{AC}{BD}$$

Con esto concluimos porque ambos son iguales a $\frac{AC}{BD}$.

P5. Polinomio con coeficientes en progresión geométrica

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 07:52:46 +0000

Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$

Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que $a_0 \neq 0$. Puedes usar la fórmula de series geométricas o hacer álgebra creativa...

Solución

Solución:

La respuesta es $x=-\frac{1}{r}$ con $n$ impar.

Solución por Carolina Reyna:

Para que se cumpla que la sucesión $a_n$ es creciente:

$a_0 \neq 0$ (porque si no, $a_i = 0 \forall i$)
$r>0$

Sea $P(x)$ el polinomio del problema. Dadas estas condiciones, para que $P(x) = 0$, entonces $x<0$. Observe además que $a_i = a_0 \times r^i$ con $0 \leq i \leq n$

Entonces observe que:

$$\sum_{i=0}^{n}a_ix^i = a_0 + a_0xr + a_0(xr)^2 + \dots + a_0(xr)^n = 0$$

$$\iff xr(\frac{a_0}{xr} + a_0 + a_0xr + \dots + a_0(xr)^{n-1} = 0$$

Como tenemos que $xr \neq 0$, entonces $\frac{a_0}{xr} + a_0 + a_0xr + \dots + a_0(xr)^{n-1} = 0 = P(x)$. Igualando ambas expresiones y cancelando términos, se obtiene que:

$$\frac{a_0}{xr} = a_0(xr)^n \iff (xr)^{n+1} = 1 \iff xr= \pm 1 \iff x = \pm \frac{1}{r}$$

Como $x<0$ y $r>0$ entonces $x = -\frac{1}{r}$. Ahora, vamos a analizar la paridad de $n$.

Si $n$ es par, entonces queda $a_0-a_0+\dots + a_0-a_0+a_0=0\iff a_0=0$ lo cual es contradicción.
Si $n$ es impar, queda $-a_0+a_0-\dots-a_0+a_0 = 0$ lo cual es cierto porque $0=0$.

P4. Desigualdades del femenil

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 02:31:35 +0000

Sean $a, b, c, d$ números reales positivos. Demuestra que:

$$\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)^4 \geq \frac{64abcd}{a^4+b^4+c^4+d^4}$$

Sugerencia

Sugerencia:

Utiliza las desigualdades de las medias ($MA-MG$ o $MC-MA$ para cuarta potencia). Otra forma es usar la desigualdad útil (el lema de Titu).

P3. Ortocentros obtusángulos y colinealidad

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 02:19:25 +0000

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC = 90^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta perpendicular a $AM$ por $M$ intersecta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $H_1, H_2$ los ortocentros de los triángulos $CMP$ y $BMQ$ respectivamente. Demuestra que $H_1H_2$ pasa por $A$.

NOTA: el ortocentro es la intersección de las tres alturas.

Sugerencia

Sugerencia:

Sean $H_3, H_4$ los ortocentros de $BMP$ y $CMQ$ respectivamente. Demuestra que $A$ es el punto de intersección de las diagonales de $H_1H_2H_3H_4$.

Solución

Solución:

Del triángulo $BMQ$, tenemos trazada la perpendicular a $BM$ desde $Q$. Del $CMP$, tenemos la perpendicular a $PM$ desde $C$. Como $P, Q, M$ con colineales, entonces tenemos la perpendicular a $QM$ desde $C$. Por tanto, la intersección de dichas perpendiculares es el ortocentro de $CMQ$ al cual llamaremos $H_4$. Similarmente, temos el ortocentro de $BMP$ al cual llamaremos $H_3$ (se deja como ejercicio ver que perpendiculares intersectan).

Como $H_4$ pertenece a la recta perpendicular a $PQ$ por $C$, entonces $H_1, H_4, C$ son colineales. Análogamente para $H_2, H_3, B$.

Ahora, sabemos que $H_4$ debe ser perpendicular a la recta $CQ$ la cual pasa por $A$. Como $AM = CM$, entonces $MH_4$ es todotriz de $\triangle AMC$. Esto quiere decir que $\triangle AH_4C$ es isósceles. Ahora, note que $PM$ es paralela a $CH_4$. Entonces $AMCH_4$ es un paralelogramos con diagonales perpendiculaes, por lo que es un papalote, pero como $AM=CM \Rightarrow AMCH_4$ es un rombo. Este argumento es totalmente análogo para $BAMH_3$. Entonces tenemos que $H_1H_4 || H_2H_3$. Además, por las alturas $PH_3$ y $QH_4$, $H3_H1 || H_2H_4$.

Por los rombos, $A$ es punto medio de $H_4H_3$. Por lo tanto, $A$ es punto medio de $H1H2$, demostrando la colinealidad.

P2. Producto de primos y MCD.

Samuel Elias — Sat, 14 Jun 2025 02:09:37 +0000

Los conjuntos $A, \ B, \ C$ y $D$ cumplen las siguientes condiciones:

Sus elementos son números enteros del 1 al 20.
Cada conjunto tiene 4 elementos y no hay un mismo número en dos o más conjuntos distintos.
Sean $P_a, \ P_b, \ P_c, \ P_d$ los productos de los números en los conjuntos $A, B, C, D$ respectivamente, y $Q_a, Q_b, Q_c, Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a, P_b, P_c, P_d$ respectivamente.

Se cumple que:

$$P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$$

$$mcd(Q_a,Q_b)\cdot mcd(Q_c,Q_d) \leq 3$$

¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos?

Sugerencia

Sugerencia:

Observa la cantidad de factores primos que hay. ¿Qué números nunca aparecen? ¿Cómo se reparten los factores primos para que cumpla la condición $P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$?

Para la ultima parte, basta con ver que hay muchos casos análogos.

P1. Desperdiciando agua en garrafones infinitos

Samuel Elias — Fri, 13 Jun 2025 05:33:41 +0000

Luna y sus amigas estan jugando con agua. Tienen $n$ garrafones vacíos de capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1, 2, \dots, m$, de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1 \leq i \leq m$. Sus amigas van a vaciar el agua de las botellas en los garrafones siguiendo estas reglas:

Sugerencia

Sugerencia:

SPG suponga que los garrafones están enumerados igualmente del 1 al $n$. Observa el ciclo de llenado de los garrafones. Cada que se termina un ciclo, ¿qué pasa con la diferencia entre los garrafones?