Publicaciones Recientes

P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 23:14:09 +0000

Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números:

$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$

El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria?

P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 23:05:29 +0000

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:59:32 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:55:37 +0000

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
$\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico.

P2. Divisores consecutivos

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:45:19 +0000

Determina todas las parejas de enteros $(a, b)$ que satisfacen:

$5 \leq b < a$
Existe un número natural $n$ tal que los números $\frac{a}{b}$ y $a-b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor $d$ de $n$ tal que $\frac{a}{b} < d < a-b$

NOTA Extra: Este problema fue propuesto por nuestro queridísimo Germán Puga :D

P1. Rompecabezas especial

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:41:31 +0000

En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?

Resultados XXXVIII OMM

Samuel Elias — Sun, 10 Nov 2024 22:32:38 +0000

Hola. Les escribo desde mi casa, pero ahora mi casa de CDMX. A partir de este año, como algunos ya sabrán, a los nacionales que vaya iré como codelegado (aunque este fui de visitante XD). No pude estar presente toda la semana por motivos escolares, pero ahí anduve.

Tenemos noticias buenas y malas. La mala, y la única, es que Tamaulipas quedó en lugar 26. Igualmente nadie debe sentirse mal por ese resultado, este año tuvimos a puros nuevos. El único que repetía era Edu y apenas es su segundo año en la olimpiada en general.

P6. La lista de Germán

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:16:47 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que si en la lista pertenecen (1, 1, -1, -1), entonces la suma y el producto de los números de la lista no se ve afectada.

Solución

Solución:

Observe que podemos agregar +1-1+1-1 tanto a la suma como al producto y estos permanecerán igual. Como estamos agregando 4 elementos, entonces trabajaremos en módulo 4.

6=6. De aquí la respuesta es $n=1$. Como $1 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 1$.

(-6)(-1)$(1^{13})$=-6-1+13(1). De aquí la respuesta es $n=15$. Como $15 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 15$.

Observa que el caso (-1)(-1)(6) es analogo al caso 6=6. Asimismo, el caso (-6)(1) es analogo al (-6)(-1).

(2)(3)(1)=2+3+1. De aquí la respuesta es $n=3$. Como $3 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 3$, y como ya obtuvimos esta respuesta anteriormente, entonces la respuesta 2 esta contenida en este conjunto de soluciones.

(-2)(-3)$(1^{11})$=-2-3+11(1). De aquí la respuesta es $n=13$. Como $13 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 13$, que está contenida dentro de las respuestas del punto 1.

(-2)(3)(-1)$(1^6)$=-2+3-1+6(1). De aquí la respuesta es $n=9$. Como $9 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 9$ que está contenida en las respuestas del punto 1.

(-3)(2)(-1)$(1^8)$=-3+2-1+8(1). De aquí la respuesta es $n=11$. Como $11 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 11$ que ya esta contenida en el punto 4.

Entonces, todas las respuestas son $n\equiv \pm1 \pmod 4 \ \forall \ n \in \mathbb{N}$

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:12:48 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Sugerencia

Sugerencia:

Como $A$ es centro de $\Gamma$, entonces tendremos varios triángulos isósceles. Observa que hay ángulos que abren arcos de circunferencias distintas. Utiliza que una bisectriz también es altura de un triángulo isósceles.

Demuestra que $K$ es el ortocentro de $ABC$

Solución

Solución:

Vamos a usar la propiedad de que 1 ángulo central es igual al doble de su ángulo inscrito que abra el mismo arco.

$\angle DAK=2\angle DEK=$ y $\angle DEK=\angle DAB$, y como $AD=AK$, entonces $AB$ es todotriz de $\angle DAK$.

$\angle KAE=2\angle KDE$ y $\angle KDE=\angle CAE$, entonces $AC$ es todotriz de $\angle EAK$.

Con esto concluimos que $K$ es el ortocentro del triángulo $ABC$.

P4. Ceros y Unos en un pizarrón.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:08:46 +0000

Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ números escritos en el pizarrón: $n$ 0’s y $n$ 1’s. Una movida consiste en escoger dos números del pizarrón, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un número.

¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?

Sugerencia

Sugerencia:

Invarianza? Observa que la paridad de la suma no cambia. ¿Cómo se comporta un movimiento de forma individual?

Solución

Solución:

Vamos a usar el siguiente lema

Lema 1: La paridad de la suma de los números en el pizarrón nunca cambia.

Notemos que si eliminamos dos números iguales (digamos $a$) y agregamos un 0, entonces la suma disminuyó por $2a$ y aumentó por 0. Entonces la suma cambió por un número par por lo que su paridad no cambia. Si eliminamos dos números diferentes, entonces tiene que ser un 0 y un 1, y agregamos un 1, entonces la suma disminuyó en 1 y aumentó en 1 por lo que permaneció igual. Entonces la paridad no cambia.

Cómo los números en el pizarrón eran originalmente 0's y 1's, y cada vez que agregamos un número es un 0 o un 1, entonces únicamente solo habrán 0's y 1's en el pizarrón.

Si $n$ es impar entonces la suma original del pizarrón es $n$ que es impar por lo que el número final tendrá que ser impar para preservar la paridad por lo que será un 1. Si $n$ es par entonces la suma original es $n$ que es par lo que lo el número final tendrá que ser 0 para preservar la paridad.