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P6. La lista de Germán

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:16:47 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que si en la lista pertenecen (1, 1, -1, -1), entonces la suma y el producto de los números de la lista no se ve afectada.

Solución

Solución:

Observe que podemos agregar +1-1+1-1 tanto a la suma como al producto y estos permanecerán igual. Como estamos agregando 4 elementos, entonces trabajaremos en módulo 4.

6=6. De aquí la respuesta es $n=1$. Como $1 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 1$.

(-6)(-1)$(1^{13})$=-6-1+13(1). De aquí la respuesta es $n=15$. Como $15 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 15$.

Observa que el caso (-1)(-1)(6) es analogo al caso 6=6. Asimismo, el caso (-6)(1) es analogo al (-6)(-1).

(2)(3)(1)=2+3+1. De aquí la respuesta es $n=3$. Como $3 \equiv -1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 3$, y como ya obtuvimos esta respuesta anteriormente, entonces la respuesta 2 esta contenida en este conjunto de soluciones.

(-2)(-3)$(1^{11})$=-2-3+11(1). De aquí la respuesta es $n=13$. Como $13 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 13$, que está contenida dentro de las respuestas del punto 1.

(-2)(3)(-1)$(1^6)$=-2+3-1+6(1). De aquí la respuesta es $n=9$. Como $9 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv 1 \pmod 4$ con $n \geq 9$ que está contenida en las respuestas del punto 1.

(-3)(2)(-1)$(1^8)$=-3+2-1+8(1). De aquí la respuesta es $n=11$. Como $11 \equiv 1 \pmod 4$, entonces un posible valor de $n$ es $n \equiv -1 \pmod 4$ con $n \geq 11$ que ya esta contenida en el punto 4.

Entonces, todas las respuestas son $n\equiv \pm1 \pmod 4 \ \forall \ n \in \mathbb{N}$

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:12:48 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Sugerencia

Sugerencia:

Como $A$ es centro de $\Gamma$, entonces tendremos varios triángulos isósceles. Observa que hay ángulos que abren arcos de circunferencias distintas. Utiliza que una bisectriz también es altura de un triángulo isósceles.

Demuestra que $K$ es el ortocentro de $ABC$

Solución

Solución:

Vamos a usar la propiedad de que 1 ángulo central es igual al doble de su ángulo inscrito que abra el mismo arco.

$\angle DAK=2\angle DEK=$ y $\angle DEK=\angle DAB$, y como $AD=AK$, entonces $AB$ es todotriz de $\angle DAK$.

$\angle KAE=2\angle KDE$ y $\angle KDE=\angle CAE$, entonces $AC$ es todotriz de $\angle EAK$.

Con esto concluimos que $K$ es el ortocentro del triángulo $ABC$.

P4. Ceros y Unos en un pizarrón.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:08:46 +0000

Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ números escritos en el pizarrón: $n$ 0’s y $n$ 1’s. Una movida consiste en escoger dos números del pizarrón, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un número.

¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?

Sugerencia

Sugerencia:

Invarianza? Observa que la paridad de la suma no cambia. ¿Cómo se comporta un movimiento de forma individual?

Solución

Solución:

Vamos a usar el siguiente lema

Lema 1: La paridad de la suma de los números en el pizarrón nunca cambia.

Notemos que si eliminamos dos números iguales (digamos $a$) y agregamos un 0, entonces la suma disminuyó por $2a$ y aumentó por 0. Entonces la suma cambió por un número par por lo que su paridad no cambia. Si eliminamos dos números diferentes, entonces tiene que ser un 0 y un 1, y agregamos un 1, entonces la suma disminuyó en 1 y aumentó en 1 por lo que permaneció igual. Entonces la paridad no cambia.

Cómo los números en el pizarrón eran originalmente 0's y 1's, y cada vez que agregamos un número es un 0 o un 1, entonces únicamente solo habrán 0's y 1's en el pizarrón.

Si $n$ es impar entonces la suma original del pizarrón es $n$ que es impar por lo que el número final tendrá que ser impar para preservar la paridad por lo que será un 1. Si $n$ es par entonces la suma original es $n$ que es par lo que lo el número final tendrá que ser 0 para preservar la paridad.

P3. Desigualdades en un selectivo

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:05:42 +0000

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}\]

Sugerencia

Sugerencia:

Estudia $a^2+b^2+c^2$ y $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$ por separado. Puedes usar $MA-MG$ o alguna otra desigualdad que conozcas.

Solución

Solución:

Por $MA-MG$, $$a^2+b^2+c^2 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)^2=3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

También por $MA-MG$,

$$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2a^2b^2b^2c^2c^2}=3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{\frac{1}{8^4}}=\frac{3}{16}$$

Sumando ambas desigualdades, $$a^2+b^2+c^2+a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2 \geq \frac{3}{4}+\frac{3}{16}=\frac{12+3}{16}=\frac{15}{16}$$

P2. Los monos de Daniel

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:02:48 +0000

Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.

Sugerencia

Sugerencia:

¿Cómo deberá repartir Daniel sus plátanos para que 4 monos no repitan la misma cantidad?

Solución

Solución:

Por principio de casillas, el acomodo para evitar que 4 monos tengan el mismo número de plátanos es:

A 3 monos no le damos plátano

A 3 monos le damos uno

A 3 monos le damos dos

Y así sucesivamente. Entonces podemos hacer en total 33 grupos de 3 y un mono queda solito, que para evitar que tenga la misma cantidad de plátanos que los demás, le tenemos que dar 33. Pero observe, que la cantidad de plátanos que necesitamos para poder hacer esto va a ser 3 veces la suma de Gauss del 1 al 32 mas los 33 que ocupamos, que es:

$$3\cdot \frac{(32)(33)}{2}+33=1617$$

Entonces nos faltan 17 plátanos para que esto sea posible.

P1. Repaso de la cantidad de divisores de un número.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 20:00:25 +0000

Un entero positivo $n$ tiene exactamente 2 divisores, mientras que el número $n + 1$ tiene exactamente 3

divisores. ¿Cuál es la mayor cantidad de divisores que puede tener el número $n + 2$?

Sugerencia

Sugerencia:

Observa que $n$ es primo. Cuál es el único $n+1$ después de un primo con 3 divisores?

Solución

Solución:

Sea $d(n)$ la cantidad de divisores de $n$. Como $d(n)=2$, es un hecho conocido que $d(p)=2$ siendo $p$ un número primo, entonces $n$ es primo. A su vez, es un hecho conocido que $d(p^2)=3$. Entonces, $n+1=p^2 \iff n=(p+1)(p-1)$, y como $n$ es un entero positivo, $p+1=n, \ p-1=1 \iff p=2 \iff n=3$. $\therefore n+2=5 \Rightarrow d(5)=2$.

3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 19:57:30 +0000

Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela.
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo.

Sugerencia

Sugerencia:

Simetría de espejo?? Demuestra que si partes el tablero de ajedrez a la mitad, Moisés podrá copiar los movimientos de Orlando y eventualmente ganar.

Solución

Solución:

La estrategia se basa en simetría: Si Orlando puso un alfil en la casilla $(i,j)$ entonces Moisés puede poner un alfil en la casilla $(9-i,j)$. Si Moisés no puede poner un alfil en esa casilla, significa que esa casilla ya andaba atacada por otro alfil en la misma diagonal, digamos que había un alfil en la casilla $(9-i+\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ donde $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ son $\pm 1$. Pero por la estrategia de simetría, eso signfica que si Orlando puso una ficha ahí, entonces Moisés debió poner una ficha en $(9-(9-i+\epsilon_1\cdot k),j+\epsilon_2\cdot k)=(i-\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ lo cual implica que la casilla $(i,j)$ ya andaba atacada y entonces Orlando nunca pudo poner una ficha ahí. De manera análoga si Moisés fue el que puso la ficha en $(9-i+\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ entonces Orlando debió poner antes un alfil en $(i-\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ lo cual llega a la misma contradicción. Como el tablero es de $8 \times 8$, eventualmente Orlando se va a quedar sin movimientos.

2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 19:47:20 +0000

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones:

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Sugerencia

Sugerencia:

Si tienen una razón $r$ tal que $b=ar$ y $c=br$, ¿cuánto vale c en términos de $a$?

Después de sustituir, usa divisibilidad porque $a$ es entero y checa todos los casos.

Solución

Solución:

Sea $r$ la razón de la progresión geométrica. Entonces, digamos que $a=a$, $b=ar$ y $c=ar^2$. Como $a<b<c$, $r>1$. Ahora, observe que $a+ar+ar^2=35 \iff a(r^2+r+1)=35$. Como $a \in \ \mathbb{N}$, entonces $a=1, 5, 7, 35$.

Caso 1. $a=1$

Entonces nos queda que $r^2+r-34=0$, entonces usando chicharronera $$r=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-(4)(1)(-34)}}{2(1)} \iff r=\frac{-1\pm \sqrt{137}}{2}$$ Pero esto haria que $b$ no sea natural

Caso 2. $a=5$, entonces $r^2+r+1=7 \iff r^2+r-6=0 \iff (r-2)(r+3)=0$, y como $r>1$, $r=2$. Esto nos da la terna $(5, 10, 20)$. Confirmando en la segunda ecuación: $$25+100+400=525$$

Caso 3. $a=7$. Entonces $r^2+r+1=5 \iff r^2+r-4=0$. Usando chicharronera se llega a que $r=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$, lo cual haria que $b$ no sea natural

Caso 4. $a=35$. Entonces $r^2+r+1=1 \iff r^2+r=0 \iff r(r+1)=0$, pero $r>1.$

La única terna que cumple es la $(5,10,20)$

1.- Aprovecha el radio con isósceles.

Samuel Elias — Sat, 19 Oct 2024 19:40:26 +0000

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.

Sugerencia

Sugerencia:

Recuerda que el circunentro te genera muchos triángulos isósceles

Solución

Solución:

Observa que como $\angle CBO=45$, entonces $\angle ABO=60-45=15$. Como tenemos isósceles formados por los radios, entonces $\angle BAO=15$, y por angulo exterior de un triángulo, $\angle AOD=30$.

Ahora, como $\angle CBO=45$, $ \angle BCO=45$ y por exterior del triángulo, entonces $\angle DOC=90$.

Por último, como $\angle AOC=120$ y $\triangle AOC$ es isósceles, entonces $\angle CAO=\angle ACO=30$, entonces como $\angle DOA = \angle DAO$, el $\triangle AOD$ es isósceles y sus ángulos son 30, 30, 120 (en ese orden de vértices).

Comentarios del Estatal de 2024

Samuel Elias — Sun, 29 Sep 2024 18:25:21 +0000

Particularmente este año, he sentido algo complicado el proceso selectivo. Se nos han juntado muchas fechas, hemos tenido que revisar a altas horas de la noche y conseguir apoyo a terceros es cada vez más complicado.

Sobre el examen, daré mis comentarios por problema (los problemas ya se publicaron en la sección de problemas, ver Estatal 2024).