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Una sumergida histórica en la OMM Tamaulipas

Samuel Elias — Sat, 14 Sep 2024 19:04:39 +0000

En los últimos 5 años, Tamaulipas ha tenido un crecimiento sorprendente en el concurso nacional a comparación de años anteriores. Los resultados han sido:
1) 2019

Concursante	Resultado
Ana Camila Cuevas González

P4. Razones de semejanza estatales

Samuel Elias — Sat, 14 Sep 2024 18:21:40 +0000

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$. Sea $U$ un punto cualquiera sobre $AC$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $BC$ de tal forma que $\angle EUD=90$. Se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $D$ y el punto de intersección se llama $F$. Asímismo, se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $E$, y el punto de intersección es $G$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$

Sugerencia

Sugerencia:

Encuentra dos pares de triángulos semejantes y construye sus razones de semejanza. Después iguala y concluye.

Solución

Solución:

Sea $\alpha=\angle BAC$, entonces $\angle ACB=90-\alpha$, y también $\angle FDA=90-\alpha$ y $\angle GEC=\alpha$. Entonces por $AA, \ \triangle AFD \sim \triangle EGC \Rightarrow \frac{AF}{EG}=\frac{DF}{CG} \iff AF \cdot CG=DF \cdot EG$

Ahora, sea $\beta=\angle FDU \Rightarrow \angle FUD=90-\beta \Rightarrow \angle EUG=\beta \Rightarrow \angle UEG=90-\beta $. Por $AA$, $ \triangle FDU \sim \triangle GUE \rightarrow \frac{DF}{GU}=\frac{FU}{EG} \iff DF \cdot EG = FU \cdot GU$

Con esto ya terminamos.

$$AF\cdot CG=DF\cdot EG=FU\cdot GU \iff \frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$

P3. Un fotógrafo amante de la combinatoria

Samuel Elias — Sat, 14 Sep 2024 18:09:22 +0000

Se desea sacarle una foto a una familia de 8 personas, todas de estaturas diferentes.

El fotógrafo quiere ordenarlos en dos filas de cuatro personas, ambas filas con estaturas ascendentes de izquierda a derecha y de modo que cada persona de la fila de atrás sea más alta que la que tiene delante. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse las 8 personas para la foto cumpliendo las condiciones anteriores?

Solución

Solución:

Númeremos a cada persona con un número del 1 al 8. El problema es equivalente a encontrar acomodos del 1 al 8 en un arreglo como el siguiente:

a b c d

e f g h

con $a<b<c<d$ ; $e<f<g<h$ y $a>e$ $b>f$ $c>g$ $d>h$. Lo primero que debemos notar es que $e=1$ y $d=8$. Lo segundo es $f<g<h$ y $f<b<c<d$ es decir a $f$ le ganan al menos 5 personas. Por lo que $f=2,3$. De manera análoga $c=6,7$. Haremos cuatro casos sobre el valor de estos.

$f=2 y c=7$. El acomodo se ve así:

a b 7 8

1 2 g h

Notemos que $a,b,g,h$ pueden tomar los valores que sea de entre 3,4,5 y 6. Así que en este caso hay $4 \choose 2 $=6 maneras. Por ejemplo si esogemos los números 4 y 6. Entonces a=4 b=6 g=3 y h=5.

Caso 2: f=2 y c=6. El acomodo se ve así

a b 6 8

1 2 g h

El 7 no puede ir en la parte de arriba por lo que $h=7$ pues en la parte de abajo están en orden ascendente. Ahora sí g puede tomar cualquiera de los tres valores restantes y a,b se acomodan solos y cumplen los requerimentos. Aquí hay tres posibilidades.

Caso 3: $f=3 y c=7$. Este caso es análogo al anterior por lo que también hay tres maneras.

Caso 4: $f=3 y c=6$. El acomodo se ve así

a b 6 8

1 3 g h

De esta manera $a=2 y h=7$. Y $b$ tendría dos posibilidades y $g$ quedaría determinado. Por lo que aquí hay 2 posibilidades.

En conclusión hay 14 maneras.

P2. Números parciales y totales

Samuel Elias — Sat, 14 Sep 2024 18:07:11 +0000

Para cualquier número natural, llamemos ``números parciales'' a los números formados por sus dígitos. Por ejemplo, los números parciales de 149 son 1, 4, 9, 14, 19, 49 y 149, y los números parciales de 313 son 3, 1, 31, 33, 13 y 313. Un número natural es ``totalmente primo'' si todos sus ``números parciales'' son números primos. Encuentra todos los números ``totalmente primos''.

Sugerencia

Sugerencia:

¿Cuáles son los dígitos de todos los números totalmente primos?

Solución

Solución:

El caso trivial es que 2, 3, 5 y 7 cumplen, puesto que son números de un solo dígito y son los únicos primos de un dígito. De aquí concluimos que todos los ``totalmente primos'' contienen únicamente dígitos 2, 3, 5 y/o 7. Entonces los números de 2 dígitos que cumplen son 23, 37, 53 y 73.

No existen números totalmente primos de tres dígitos por las siguientes razones:

Ningún número puede terminar con 2 o 5, porque si no serían pares o múltiplos de 5.
No podemos usar el 2 y el 5 al mismo tiempo, de lo contrariom algún número parcial sería múltiplo de 2 o de 5.
No podemos usar 2 veces el mismo dígito, de lo contrario, habría múltiplos de 11.
Solo nos quedan de opciones alguna permutación del 237 o 537, pero $2+3+7=12$ y $5+3+7=15$, los cuales son múltiplos de 3.

Al no existir números totalmente primos de 3 dígitos, tampoco existen números totalmente primos de más de 3 dígitos, porque al menos un número parcial de 3 dígitos no es primo.

Por lo tanto, todos los números totalmente primos son: $$\{2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73\}$$

P1. La lista de David

Samuel Elias — Sat, 14 Sep 2024 18:03:40 +0000

David hace una lista de 2024 números. El primero de ellos es 1, y los demás se obtienen de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. Si ningún número de la lista termina en 0, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Sugerencia

Sugerencia:

Maximiza la suma de los números de la lista

Solución

Solución:

La estrategia para lograr el máximo es sumar un 9 siempre que se pueda y sino sumar un 8. Al principio se suma un 8 y en los siguientes 8 pasos se debe sumar 9. Esto asegura que nunca se acaba en cero pues las unidades serían 1,9,8,7,6,5,4,3,2,1. Y podemos seguir repitiendo este proceso de sumar un ocho seguido de sumar 8 veces el 9. Esto hace que cada nueve pasos se este sumando 80. Por lo que en la posición 10 estará 1+80, en la posición 19 estará el 1+2(80), de manera general en la posición 1+9k estará el número 1+80k. Por lo que en la posición 2017= 1+9(224) estará el número 1+80(224)=17,921. En la posición 2018 el número 17,929 y de allí sumamos puros nueve por lo que en la posición 2024 se habrán sumado 6 nueves. En conclusión la respuesta es 17,929+54=17983

Comienza el proceso olímpico 2024

Samuel Elias — Thu, 01 Aug 2024 22:17:49 +0000

Con gusto anunciamos el inicio de la 38 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas y la 8va Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas para Educación Básica.

P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$

jesus — Fri, 14 Jun 2024 02:09:13 +0000

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.

P7. Raíces de cuadráticas

jesus — Thu, 13 Jun 2024 17:33:02 +0000

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado

jesus — Thu, 13 Jun 2024 17:25:53 +0000

En un tablero $4 \times 4$ cada casilla se colorea de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tenga una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero?

P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO

jesus — Thu, 13 Jun 2024 16:44:48 +0000

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.