He preparado los siguientes 20 problemas de nivel básico (según la clasificación MaTeTaM) para iniciar en enero 2012 un taller de resolución de problemas para alumnos de secundaria en la UAMCEH-UAT. Cada problema se tomará como pretexto para destacar uno o más conceptos y/o habilidades y, a partir de éstos, se propondrán más problemas. Se trataría de inculcar en los asistentes hábitos adecuados de razonamiento en problemas de concurso.
Problemas resueltos
Problema 1. Calcular el valor de la expresión m4n−4 si se sabe que mn=3
Comentario: Elemental pero... falta poner la expresión a modo para usar el dato.
Concepto: Leyes de los exponentes.
Solución: De acuerdo a las leyes de los exponentes, m4n−4 es equivalente a (mn)4−4. La respuesta es entonces 34−4=81−4=77
Problema 2. Encontrar el máximo valor posible de m+n si se sabe que m,n son enteros positivos y que 26+mn=27
Concepto: Leyes de los exponentes.
Comentario: La simplificación que lleva a la solución es casi evidente. Pero ¡hay que verla!
Solución: 26+mn=27 es equivalente a mn=27−26=26=64=43=82. Por tanto, la respuesta es 10.
Problema 3. Calcular el valor de la expresión (a+b)2(a−b)2
Concepto: Binomio al cuadrado.
Comentario: Elemental... pero hay que ver la utilidad del dato y la forma de usarlo.
Solución: Desarrollando los binomios cuadrados y sustituyendo el dato se obtiene la respuesta 2.
Problema 4. Con los dígitos 0,2,4,7 se forma un cuadrado perfecto de cuatro cifras. ¿Cuál es?
Concepto: Propiedades de los cuadrados perfectos.
Comentario: La fuerza bruta verificaría todas las posibilidades (18). Pero hay otra forma de resolverlo...
Solución:
Un cuadrado perfecto no puede terminar en un solo 0 --pues al ser múltiplo de 10 tendría que ser múltiplo de 100. Tampoco puede terminar en 2 porque ningún dígito al cuadrado termina en 2. Por la misma razón no puede terminar en 7. Por tanto, el cuadrado a formar debe terminar en 4.
Ahora veamos la cifra de las decenas. Como el cuadrado a formar termina en 4, entonces es par. Pero es cuadrado perfecto. Por tanto, es múltiplo de 4. Pero entonces sus dos últimas cifras debe formar un número múltiplo de 4. Así que el número a formar termina ya sea en 04 o bien en 24.
Si terminara en 24, la única posibilidad es 7024. Pero éste no es cuadrado perfecto (lo cual es fácil de comprobar si se sabe el algoritmo de la raíz cuadrada). Por otro lado, si terminara en 04 hay dos posibilidades: 2704 o 7204. Y de éstos el único cuadrado perfecto es 2704. Por tanto, el cuadrado perfecto buscado es 2704.
Problema 5. Los números (reales, no nulos) a,b satisfacen la ecuación a2+81b4=18ab2. Calcular el valor de a3/b6.
Concepto: Manipulación algebraica.
Comentario: El truco está en saber reconocer un trinomio cuadrado perfecto en la ecuación.
Solución: Se puede reconocer un binomio al cuadrado pasando todo al lado izquierdo. Así que la ecuación es equivalente a (a−9b2)2=0. Así que a=9b2 y a/b2=9. Por tanto, a3/b6=93.
Problema 6. Una fracción F entra a una máquina trituradora de fracciones y ésta produce la fracción (1−F)/(1+F). Determinar la fracción que produce finalmente la máquina si entra la fracción 2/3 y la fracción que sale entra nuevamente y se continua de esta manera hasta completar 2011 procesos.
Habilidad: Reconocimiento de un patrón.
Comentario: Nunca se ha visto que quien se rinde en el enunciado resuelva el problema.
Solución: Si entra la fracción 2/3 a la máquina, ésta produce (1/3)/(5/3)=1/5. Si ahora entra el 1/5 la máquina produce (4/5)/(6/5)=2/3 y se ve que la máquina va a producir la sucesión 1/5, 2/3, 1/5, 2/3,... Así que solamente hay que observar que las posiciones pares son 2/3 y las impares 1/5. La respuesta es entonces 1/5.
Problema 7. Demostrar que si 2n+1 es cuadrado perfecto entonces n+1 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos.
Habilidad: Razonamiento deductivo a partir de una hipótesis.
Comentario: Un clásico de concurso. No es difícil... pero hay que llevar la hipótesis hasta sus últimas consecuencias.
Solución: Bajo la hipótesis de que 2n+1 es cuadrado perfecto podemos plantear 2n+1=m2 --con m algún entero positivo. Ahora bien, dado que m2 es impar, lo mismo es ciero de m. Digamos que m=2k+1. Se sigue que 2n=4k2+4k. Es decir, n=2k2+2k. Por tanto, n+1=2k2+2k+1=k2+(k+1)2, como se quería.
Problema 8. Encontrar el menor número por el que hay que multiplicar al 21 para obtener un número escrito con puros cuatros.
Habilidad: Extraer conclusiones a partir de la información dada
Comentario: El enunciado es fácil de comprender pero el método de solución no es evidente.
Solución:
Según el enunciado se desea encontrar un n de manera que 21n=444...4. Puesto que 21=3⋅7, el número de cuatros debe ser múltiplo de 3. Es decir, tres cuatros, seis cuatros, etc.
No pueden ser tres cuatros, pues 444 no es múltiplo de 7. Con seis cuatros la factorización es 444444=4(111111)=4⋅3(37037)=4⋅3⋅37(1001)=4⋅3⋅37⋅7(143)
Nota: el problema es elemental y puede resolverse con el algoritmo de la multiplicación. (Ver atachado)
Problema 9. Carlos y José corren una carrera de 100 metros. Carlos gana con 10 metros. Para emparejar la carrera, deciden correr de nuevo, pero esta vez Carlos inicia 10 metros detrás de línea de partida. Suponiendo que ambos corren a velocidad constante las dos veces ¿quién gana?
Habilidad: Reconocer una trampa cognitiva.
Comentario: Maliciar una trampa conduce a leer dos veces el enunciado (y a hacer algún diagrama).
Solución: Es tentador responder inmediatamente que la segunda vez empatan. Pero un momento de reflexión conduce a la conclusión de que de cualquier manera gana Carlos. Véase: Carlos alcanza a José 10 metros antes de llegar a la meta (pues, según la primera carrera, en el mismo tiempo T, Carlos avanza 100 mientras que José solamente 90). Un poco más difícil sería cambiar la pregunta a ¿quién gana y con qué ventaja?
Problema 10. El abuelo reparte 500 pesos entre sus 18 nietos de manera que cada nieta recibió 2 pesos menos que cada nieto. Cuántas nietas tiene el abuelo?
Habilidad: Modelación.
Comentario: Parece que faltan datos pero... ¡es un problema diofantino!
Solución: Sean x el número de nietos y y el de nietas, y d la cantidad de pesos que recibió cada nieto varón. Entonces el problema se deja modelar de la siguiente manera: x+y=18 dx+(d−2)y=500
Ver solución completa en http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/problemas-trampa-procedimental
Problemas de ejercitación --para evocar los conceptos adecuados
Problema 11. Sea D un punto sobre el lado BC del equilátero ABC. Se elige un punto E fuera del triángulo de manera que el triángulo BDE es también equilátero. Demostrar que AD=EC
Problema 12. Dado el cuadrado ABCD se elige un punto E fuera del cuadrado de manera que el triángulo CDE es equilátero. ¿Cuánto mide el ángulo AEC?
Problema 13. Sea dado el triángulo ABC, rectángulo en B, y con AC=2BC. Sean D la base de la altura asociada a la hipotenusa y CE la bisectriz del ángulo en C. Calcular la medida del ángulo en que BD y CE se cruzan.
Problema 14. En el triángulo ABC, los puntos D en BC y E en AC son tales que DC=BD/2 y AE=2DC. Si P es el punto de intersección de AD y BE, demostrar que AP=3PD
Problema 15. Encontrar todos los enteros positivos a tales que a2−33 es un cuadrado perfecto.
Problema 16. Si 6 gatos atrapan a 6 ratones en 6 minutos, ¿cuál sería el número de ratones que atrapan 30 gatos en 30 minutos?
Problema 17. Cuatro triángulos equiláteros de lado 1 se colocan formando un paralelogramo. Calcular la diagonal de éste.
Problema 18. El perímetro de un rectángulo es de 44 pulgadas y su área es de 112 pulgadas cuadradas. Encuentra el ancho y el largo del rectángulo.
Problema 19. El área de un cuadrado equivale al triple de su perímetro. Encuentra la longitud de un lado del cuadrado.
Problema 20. Caracterizar la recta que pasa por el punto (5, 3) en el sistema cartesiano de coordenadas y que el triángulo formado por las intersecciones con los ejes y el origen tenga el área mínima.
Los saluda
jmd
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | 21n_cuatros.pdf | Solución al problema 8: 21n=444..., n=? (con algoritmo de la multiplicación) | 203.16 KB |