Problemas

Estos son los problemas que llevamos hechos!

Título Clasificación Extracto Fecha de creaciónordenar por icono
Puntos en la hipotenusa de un isósceles rectángulo Intermedio, Olimpiada de Rumania 2001, Geometría

 En la hipotenusa $ BC $ del triángulo isósceles rectángulo $ ABC $  se han elegido los puntos $ M,N $ en el orden $ B,M,N,C $, de tal manera que $ BM^2+NC^2=MN^2 $. Encontrar, con prueba, la medida del ángulo $ \angle{MAN} $

 09/09/2010 - 18:48
Cuadrado perfecto de cuatro cifras Básico, Números

Sea $ m $ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $ m $ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $ m $.

 25/08/2010 - 17:33
Medida de un ángulo: elemental pero... Intermedio, Geometría

Los ángulos en la base $ BC $ del isósceles $ ABC $ miden 40 grados. El lado $ AB $ se prolonga hasta el punto $ D $ de manera que $ B $ quede entre $ A $ y $ D $ y $ AD=BC $. ¿Cuánto mide el ángulo $ BCD $?

 24/08/2010 - 11:08
Suma de potencias múltiplo de 7 Álgebra, Intermedio

Demostrar que para $ n $ entero no negativo, la función $ f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1 $ es múltiplo de 7.

 16/08/2010 - 18:05
Puntos medios, líneas medias e isósceles rectángulos Intermedio, Geometría

Sean $ D,E $ puntos en el exterior del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ ABD $ y $ ACE $ son isósceles rectángulos en $ D $ y $ E $, respectivamente. Demostrar que si $ F $ es punto medio de $ BC $, entonces el triángulo $ DEF $ es isósceles rectángulo en $ F $

 15/08/2010 - 08:50
Circuncírculo de equilátero Intermedio, Geometría

Sea $ M $ un punto en el arco $ AB $ del circuncírculo del triángulo equilátero $ ABC $. Demostrar que $ AM+MB=MC $.

 15/08/2010 - 07:44
Triángulo dividible Avanzado, Geometría

En un triángulo isósceles $ ABC $, con $ AB=AC $ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $ D $ en $ AC $ y $ E $ en $ AB $ son tales que $ \angle{DBC}=60 $ y $ \angle{ECB}=50 $. Encontrar, con prueba, la medida del $ \angle{EDB} $

 14/08/2010 - 06:53
La factorización prima es única Intermedio, Números

Encontrar todos los pares $ (x,y) $ de enteros que satisfacen la ecuación $ 2^x+1=y^2 $

 13/08/2010 - 17:36
Coeficientes de una expresión cuártica Álgebra, Básico

Calcular el valor de la expresión $ (a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2 $, donde los $ a_i $ son los coeficientes de la expansión de  $ (2x+\sqrt{3})^4 $:

$$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$

 

 13/08/2010 - 10:56
Función convexa aplicada a un promedio Álgebra, Avanzado

Sea $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que:

$$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$
para toda pareja de números reales  $ x,y \in \mathbb{R} $.

Demostrar que para cualesquiera números reales $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ se satisface la siguiente desigualdad:

\[ f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}. \](1)

 12/08/2010 - 10:44