Álgebra
7. Desigualdades triviales no tan triviales
Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xy+yz+zx=3$. Demuestra que $$\frac{x^2+y^2}{z} + \frac{y^2+z^2}{x} + \frac{z^2+x^2}{y} \ge 6$$
5. Defendiendo al pueblo del dragón
Una guerrera, con ayuda de un pueblo, atacará a un dragón durante 2026 días. Cada día se realiza exactamente una de las siguientes acciones:
- Atacar: Cada guerrera le hace 1 punto de daño al dragón.
- Entrenar: Exactamente una pueblerina entrena y se convierte en guerrera. Ninguna guerrera ataca ese día.
El daño total es la suma del daño hecho a lo largo de los 2026 días. [El pueblo cuenta con inicialmente a una guerrera. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos de daño total que puede recibir el dragón?
4. Acotando al fallo con la función s(n)
Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que
$$s(a+b)=c, \ s(b+c)=a, \ s(c+a)=b$$
2. Prismificar y Cubificar
A la gran hechicera le encantan los cubos y está por jugar un juego. Comienza con un cubo de lado $1$ y otro de lado $x$ (donde $x$ > $1$). En cada turno, la hechicer realiza los siguientes dos encantamiento, uno después del otro:
Uno igual al del 2011 (P2)
Un sistema de ecuaciones (P3)
Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:
\[ \begin{aligned} a_1^2 + a_1 - 1 &= a_2, \\ a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3, \\ &\ \vdots \\ a_{n-1}^2 + a_{n-1} - 1 &= a_n, \\ a_n^2 + a_n - 1 &= a_1. \end{aligned} \]P6. Más de Desigualdades Tamaulipas
P1. El regreso del piso, el ascenso del techo
3. Una desigualdad, muchas soluciones.
(CIIM P5, 2013) Matrices y conjugación
