Avanzado

Sea $n$ un entero positivo impar. Un $laberinto \ de \ espejos$ es un tablero de $n \times n$ casillas, con paredes de cristal, donde en cada casilla se coloca un espejo de doble cara en una de las dos diagonales posibles. Dado un laberinto de espejos, apuntamos un láser a una de sus paredes exteriores y el láser entra horizontalmente o verticalmente al laberinto. Si el láser choca con un espejo, siempre choca en el punto medio y se refleja $90^\circ$ según la orientación del espejo.

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xy+yz+zx=3$. Demuestra que $$\frac{x^2+y^2}{z} + \frac{y^2+z^2}{x} + \frac{z^2+x^2}{y} \ge 6$$

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X, Y, Z$ puntos en los rayos $BC$ (con origen en $B$), $CA$ (con origen en $C$) y $AB$ (con origen en $A$), respectivamente, tales que $BC=CX$, $CA=AY$, y $AB=BZ$. Demuestra que las medianas de $ABC$ y las medianas de $XYZ$ se cruzan todas en el mismo punto.

Nota: Un rayo es una línea que comienza en un punto fijo (llamado origen) y se extiende indefinidamente en una sola dirección).

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $EF$ y $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $EF$ y $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_b$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_c$ en $Y$.

Sea $\omega_a$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto a $A$. Pruebe que la reflexión de $\omega_a$ respecto a $EF$ es tangente a $XY$

Determina para cuales enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \dots , p_n$ tales que

$$p_1p_2+1, \ p_2p_3+1, \dots , p_{n-1}p_n+1, \ p_np_1+1$$

son todos potencias perfectas.

$Nota:$ una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ con $k \geq 2$ y $a, k$ enteros positivos.

Sea $n$ un entero positivo. Considera un tablero de $2 \times n$ dividido en cuadrados de $1 \times 1$. Cada cuadrado del tablero se etiqueta con un número distinto elegido de entre el $1$ al $2n$ elegido exactamente una vez. 

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.

Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.

La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.

Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.

Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.

Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de $2$.

Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.

Nota: El $1$ es considerado una potencia de $2$ pues $2^0 = 1$.

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: