Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.
Solución
Solución:
Sea r el radio (cualquier real positivo) y supongamos que O P corta en A y B a la circunferencia de radio r y centro O y que OQ la corta en C y D. Entonces, P y Q tienen la misma potencia respecto al círculo si y sólo si (por definición de potencia de un punto) P A ⋅ P B = Q A ⋅ Q B . Y, tomando como punto de referencia el centro O, esto es lo mismo que decir ( P O − r ) ( P O + r ) = ( Q O − r ) ( Q O + r ) , es decir, si y sólo si P O 2 − r 2 = Q O 2 − r 2 . Lo cual es equivalente a PO=QO. (Esto es suponiendo que P,Q están dentro del círculo --si estuviesen ambos fuera se logra lo mismo con un análisis similar.)