Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.
Solución
Solución:
Sea $ r $ el radio (cualquier real positivo) y supongamos que $OP$ corta en A y B a la circunferencia de radio $ r $ y centro O y que OQ la corta en C y D. Entonces, P y Q tienen la misma potencia respecto al círculo si y sólo si (por definición de potencia de un punto) $PA\cdot PB=QA\cdot QB$. Y, tomando como punto de referencia el centro O, esto es lo mismo que decir $(PO-r)(PO+r)=(QO-r)(QO+r)$, es decir, si y sólo si $PO^2-r^2=QO^2-r^2$. Lo cual es equivalente a PO=QO. (Esto es suponiendo que P,Q están dentro del círculo --si estuviesen ambos fuera se logra lo mismo con un análisis similar.)
