Biyección (función biyectiva)

Es una función que es inyectiva y sobreyectiva. Esto es, es una función en la que a todo elemento del codominio le corresponde un único elemento del dominio. Estas fucniones están carecterizadas por tener una función inversa en todo el codominio.

Por ejemplo, la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x+1$ es biyectiva, ya que la función $g(x)=\frac{x-1}{2}$ es su función inversa definida para todo número en $\mathbb{R}$.

Un par de ejemplos de funciones no biyectivas son:

• $g(x) = x^2$ no es biyectiva pues al número 1 no es imagen de un único elemento en el dominio, de hecho es imagen de dos elementos; el 1 y el -1.
• La función $p(x) = 2^x$ tampoco es biyectiva como función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Pues, aunque tiene inversa ($log_2(x)$), esta no está definida en todo $\mathbb{R}$, pues no está definida para los negativos.Aún así, se dice que $p(x) = 2^x$ sí es biyectiva como función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^+$ (los reales positivos).

En combinatoria las funciones biyectivas son de gran utilidad como un método para demostrar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad (cantidad de elementos): si se puede establecer una biyección entre ellos entonces tienen la misma cardinalidad.