Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.
P7. Raíces de cuadráticas
Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:
Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$
Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$
Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$
P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado
P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO
Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.
Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.
P4. Ana y Beto coloreando cuadrados
Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?
El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.
P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.
Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$
P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales.
Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.
¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?
Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.
P1. Ecuación cuadrática con sumatoria
P6 Primer problema real de funcionales
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:
$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$
Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.
P5 Concurrencia de 2 círculos y 1 segmento
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF = \angle ACB$, donde $F$ y $B$ están de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.
P4 Un mago y sus fichas B/N
Dada una colección de varias fichas que pueden ser negras o blancas y que tienen, cada una, un número escrito en ellas, un mago hace el siguiente movimiento: Toca 2 de las fichas con distinto número y color, y la de número menor se convierte en una ficha idéntica a la otra.
Sea $n$ un entero mayor o igual a 2. Para cada uno de los movimientos del 1 al $n$, el mago pone en la mesa una ficha negra o blanca con ese número. Luego hace su $movimiento$ para ir modificando la colección.
P3 Regresa la Geo a la OMM
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M, N, K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que, $\angle BPN = \angle PAD$ y $\angle CPN = \angle PDA$. Demuestra que $AB \cdot CD$ = $4PM \cdot PK$
P2 Germán y su obsesión con los polígonos regulares.
Los números del 1 al 2000 se encuentran colocados sobre los vértices de un polígono regular de 2000 lados, uno en cada vértice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ cumplen que $1\leq A < B < C < D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices donde están los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices donde están $C$ y $D$ no se intersectan en el interior del polígono. Demuestra que existe un entero positivo que es un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un número cuadrado perfecto.
P1 OMM 37
Encuentra todos los números de 4 dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al doble de la suma de sus dígitos.
3.- Ortocentro como Punto Medio
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.
NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.
Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.
2.- Un 2024-ágono y sus diagonales
Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea?
1.- Un problema Clásico de Factorización en Teoría de números
Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:
$p^k-k^p=9k$
probabilidad
Se escojen 3 puntos diferentes en un circulo ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por esos puntos contega el centro del círculo?
6.- 480°???
Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1$ = $A_1C$, $CB_1$ = $B_1A$, $AC_1$ = $C_1B$ y <$BA_1C$ + <$CB_1A$ + <$AC_1B$ = 480°.
Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$, y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.
Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.
NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.
5.- Triángulo Japonés
Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en 1 + 2 + ... + $n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i$ = 1, 2, ..., $n$, la fila número $i$ contiene exactamente $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japoné es una sucesión de $n$ círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.