Básico

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones: 

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.  

Para cualquier número natural, llamemos ``números parciales'' a los números formados por sus dígitos. Por ejemplo, los números parciales de 149 son 1, 4, 9, 14, 19, 49 y 149, y los números parciales de 313 son 3, 1, 31, 33, 13 y 313. Un número natural es ``totalmente primo'' si todos sus ``números parciales'' son números primos. Encuentra todos los números ``totalmente primos''.

David hace una lista de 2024 números. El primero de ellos es 1, y los demás se obtienen de sumarle al anterior alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. Si ningún número de la lista termina en 0, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista? 

Gabriela encontró una enciclopedia de 2023 páginas, numeradas del 1 al 2023. Notó que las páginas cuyo número está formado por únicamente dígitos pares tienen una marca azul. También notó que cada 3 páginas hay una marca roja y que la primera marca roja está en la página 2. ¿Cuántas páginas de la enciclopedia están marcadas con ambos colores?

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño.