Selectivo OMM Tamaulipas 2022

Se definen las sucesiones x_n y y_n mediante las siguientes reglas:

• x₀ = 2, x₁ = 5, x_n+1 = x_n + 2x_n-1
• y₀ = 3, y₁ = 4, y_n+1 = y_n + 2y_n-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.

Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño.