El 6 del último selectivo 2022

Tenemos que $x_2$ = $x_1 + 2x_0$ = 5 + 2*2= 5+4 = 9, y 
$y_2$ = $y_1 + 2y_0$ = 4 + 2*3 = 4 + 6 = 10. A simple vista, se puede intuir que todas las $x_n$ con $n \geq 1$ son impares y las $y_n$ con $n \geq 1$ son pares. Vamos a demostrarlo. 

a) Vemos el caso base n=1, $x_1$ = 5 que es impar. Hagamos induccion. Entonces $x_n$ es impar. Veamos que $2x_{n-1}$ siempre es par porque 2 $\mid 2x_{n-1}$. Entonces $x_{n+1}$ = $x_n + 2x_{n-1}$ = impar + par = impar q.e.d.

b) Con n=1, $y_1$= 4 que es par. Induccion. Entonces $y_n$ es par. Nota que $2y_{n-1}$ es par porque 2 $\mid 2y_{n-1}$. Entonces $y_{n+1}$ = $y_n + 2y_{n-1}$ = par + par = par q.e.d.

Ahora, tanto $y_0$ y $x_0$ son > 0, entonces $2y_{n-1}, 2x_{n-1}$ > 0 $\Rightarrow$ $x_{n+1}, y_{n+1} > x_n, y_n$ respectivamente. Y tmb tenemos que $x_0, x_1, y_0, y_1$ son distintos entre si, por lo tanto, no existen numeros repetidos en ambas sucesiones