Selectivo Final OMM Tamaulipas 2023

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.

NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo. 

Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.

Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea? 

Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:

$p^k-k^p=9k$