Sean ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro y M el punto medio de BC. La perpendicular a MH por H corta a AB en L y a AC en N. Demuestra que LH=HN.
NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.
Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.
LNBC es cíclico M es el
LNBC es cíclico
M es el centro del círculo. Se sigue que LH=HN por implicación directa del teorema de la mariposa.
Bonito problema, había salido en una onmaps creo :p
Hola Andre, la neta nunca vi
Hola Andre, la neta nunca vi porque LNCB es ciclico jajaja.
Aqui les va una sol muy
Aqui les va una sol muy tecnica, pero mata el problema en menos de 5 minutos.
Usando la configuración del hortocentro y el circuncírculo:
Son hechos conocidos las siguientes dos características:
a) H,M,A′ son colineales, siendo A′ el punto diametralmente opuesto a A y la reflexión de HM.
b) HCA′M es paralelogramo. De aquí se concluye que ∠HBA′=HCA′
Ahora, como AA′ es diámetro, entonces ∠ACA′=∠ABA′=90°.
De aquí obtenemos que HNCA′ y HLBA′ son cíclicos, por lo que por moñitos ∠HLA′=∠HBA′=∠HCA′=∠HNA′, por lo que △LA′N es isósceles. Como H es pie de altura de dicho triángulo, entonces HA′ es todotriz concluyendo que LH=NH.