Trisección de un segmento y triángulos equilateros

 Observemos que el segmento $ PM $ es paralelo a $ AB $, de donde por ángulos alternos internos los tríangulos $ ABS $ y $ PMS $ son semejantes. De la semejanza se sigue que:

$$ \frac{AB}{PM} = \frac{BS}{MS} $$

Pero como $ AB = BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot PM $ se tiene que $ \frac{AB}{PM} = 2 $. En consecuencia

$$ BS = 2 \cdot MS $$

De esta última igualdad se sigue que

$$ BS = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3}( \frac{1}{2} \cdot BC ) = \frac{1}{3} \cdot BC $$

De manera análoga se prueba que $ TC = (1/3)BC $.