Trisección de un segmento y triángulos equilateros

 Observemos que el segmento $PM$ es paralelo a $AB$, de donde por ángulos alternos internos los tríangulos $ABS$ y $PMS$ son semejantes. De la semejanza se sigue que:

$$\frac{AB}{PM} = \frac{BS}{MS}$$

Pero como $AB = BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot PM$ se tiene que $\frac{AB}{PM} = 2$. En consecuencia

$$BS = 2 \cdot MS$$

De esta última igualdad se sigue que

$$BS = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3}( \frac{1}{2} \cdot BC ) = \frac{1}{3} \cdot BC$$

De manera análoga se prueba que $TC = (1/3)BC$.