Cómo rellenar un rectángulo con fichas

($\Leftarrow$) Primero supongamos que $a$ y $b$ tienen distinta paridad y demostremos que el polígono se puede cubrir con rectangulitos de $1 \times 2$.

Supongamos que $a$ es par y $b$ es impar. Podemos dividir al polígono en 3 regiones como se muestra en la figura. La región central (la región roja) tendrá base $a-2$ (par) y altura $b$, y entonces se podrá rellenar esta región con $\frac{a-2}{2} \times b$ rectangulitos con $\frac{a-2}{2}$ de base y $b$ de altura. Sólo basta acomodar los rectángulos de forma hotizontal. Las regiones azules tienen base 1 y altura b-1. Pero b-1 es par pues b es impar. Entonces estas regiones se pueden rellenar con $\frac{b-2}{2}$ rectangulitos acomodados en forma vertical.

De la misma forma se puede probar que con $a$ impar y $b$ par se puede rellenar.

$\Rightarrow$) Ahora demostremos que si el polígono se puede rellenar con rectangulitos de $1 \times 2$ entonces $a$ y $b$ deberán tener distinta paridad.

Consideremos primero el caso donde a y b son impares. Digamos $a=2k+1$ y $b=2l+1$ entonces el área del polígono tendrá área impar: $4kl + 2k + 2l - 1$ pero entonces no se podría cubrir con cuadritos de $1 \times 2$ pues resultaría un área par.

Ahora veamos el caso del polígono de base $a$ y altura $b$ con $a$, y $b$ pares. Para ver que no es posible cubrir este polígono consideremos la coloración de ajedrez. Si coloreamos la base del rectángulo de $a \times b$ de izquierda a derecha y empezamos en negro. Tendremos $\frac{a}{2}$ cuadritos negros y $\frac{a}{2}$ cuadros blancos. En total tendremos la misma cantidad de cuadros negros que de blancos en el rectángulo de $a \times b$: $b \times \frac{a}{2}$. Para formar el polígono necesitamos restar 2 cuadros de las esquinas opuestas. Pero cada par de esquinas opuestas es del mismo color. Digamos que quitamos las 2 esquinas negras. Así obtendremos más cuadros blancos que negros. Pero cada rectangulito de $1 \times 2$ que utilicemos para cubir el polígono siempre abarcará exactamente un cuadro negro y un cuadro blanco. Por lo que necesitaríamos que el polígono estuviera coloreado con el mismo número de blancas que de negras.