P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono

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Muchas gracias por el comentario Luis, es un gusto saber que te ha a servido nuestra página.

Saludos

SPDG el hexágonotiene área 1.

Si los 7 puntos forman un poligono no convexo se puede hacer una triangulacion de 7 o más triangulos de manera que no se traslapen, entonces por casillas habra un triangulo que tiene area menor a 1/6  entonces supongamos que los siete puntos forman un poliigono convexo.

Sea O el centro del hexágono. Notemos que las diagonales principales dividen al hexágono en seis partes iguales. Por casillas hay dos puntos en la misma zona denotemoslos por A y B.  Si existe un punto (de los siete) que queda de lado contrario a O con respecto a la recta AB es una contradiccion a que el poligono sea convexo por lo tanto todos los puntos quedan del mismo lado de O con respecto a AB. Sea L una recta paralela a AB  que pase por O. Si existe un punto P en el mismo lado de A,B con respecto a L el triangulo PAB tiene menor altura (o igual) al triangulo OAB y este tiene area menor a 1/6  entonces PAB tendra área menor a 1/6. De aqui supongamos que todos los 5 puntos restantes quedan del lado contrario de A,B con respecto a L  pero toda recta que pase por el centro de un poligono regular divide a este por la mitad. Entonces los cinco puntos quedan en una mitad del hexágono y con estos cinco puntos se puede hacer una triangulacion con tres triangulos que de manera que no se traslapen y por casillas habra uno con área menor o igual a (1/2) / 3  = 1/6 y esto cubre todos los casos por lo tanto terminamos.

Saludos

Germán n.n