Muestre que 100 divide a la suma de potencias 1+1111+111111+…+11111111111111111111
(Solución de Bernardo Tovías)
1+1111+111111+...+11111111111111111111
≡1+1111+11111+...+111111111111(mod100) (ya que las terminaciones de todos, a excepción del 1, es 11, es decir, todos las bases son congruentes con 11 módulo 100). Ahora buscamos el 1: 110≡1(mod100) 112≡21(mod100) 113≡31(mod100) 114≡41(mod100) 115≡51(mod100) 116≡61(mod100) 117≡71(mod100) 118≡81(mod100) 119≡91(mod100) 1110≡1(mod100) Ahora bien, como todos las congruencias están elevadas a un número de la forma 10k+1 con k∈{0,1,11,111,...,111111111},entonces todas van a ser de la forma: 11\cdot(11^{10})^k} \equiv {11} \pmod{100} De aqui que 1+11+11+11+...+11=1+9(11)=100≡0(mod100) Por lo que esa suma es multiplo de 100.
Excelente y original la solución de Arbiter. Sin temor a la talacha busca el 1 y después descubre que las potencias son de la forma 10k+1, lo cual combinado con el 1 le da la solución en tres patadas.
Los saluda
Otra forma de llegar a que 1110≡1(mod100) es con el teorema del binomio.
(10+1)11≡1011+(111)1010+⋯+(1110)10+1(mod100)
Como cada uno de 1011,1010,109,…,102 es divisible entre 100 entonces
(10+1)11≡110+1≡11(mod100)
Y como mcd(100,11)=1 entonces podemos cancelar un 11 de ambos lados de la congruencia.
1110≡1(mod100) y se sigue como en la otra solucion.
Muy buen solución, con un excelente manejo de las congruencias.
Excelente y original la
Excelente y original la solución de Arbiter. Sin temor a la talacha busca el 1 y después descubre que las potencias son de la forma 10k+1, lo cual combinado con el 1 le da la solución en tres patadas.
Los saluda
Otra forma de llegar a que
Otra forma de llegar a que 1110≡1(mod100) es con el teorema del binomio.
(10+1)11≡1011+(111)1010+⋯+(1110)10+1(mod100)
Como cada uno de 1011,1010,109,…,102 es divisible entre 100 entonces
(10+1)11≡110+1≡11(mod100)
Y como mcd(100,11)=1 entonces podemos cancelar un 11 de ambos lados de la congruencia.
1110≡1(mod100) y se sigue como en la otra solucion.
Muy buen solución, con un
Muy buen solución, con un excelente manejo de las congruencias.