
Considere μ un segmento paralelo a las bases a y b de un trapecio, de tal manera que μ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que μ es la media armónica de a y b, es decir:
Considere μ un segmento paralelo a las bases a y b de un trapecio, de tal manera que μ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que μ es la media armónica de a y b, es decir:
Sea ABCD un trapecio con AB
Sea ABCD un trapecio con AB paralelo a CD. Sea E el corte de AD con BC, sea M el punto se interseccion de las diagonales del ABCD, sea N el punto de interseccion de PM con AB y sea F un punto en la proyeccion de AB tal que BF=CD.
Ya que las cevianas AC, BD y EN concurre, por el teorema de ceva tenemos que APPE⋅EQQB⋅BNNA=1
Ahora observemos por otro lado que como BF=CD y BF es paralelo a CD entonces BFCD es un paralelógramo, por lo tanto AMAC=ABAF
Muy buena solución, sólo que
Muy buena solución, sólo que cometiste algunos errores de dedo.
En realidad se tiene que:
ADDE⋅ECCB⋅BNNA
También pusiste que:
Como P y Q ya no aparecen en la identidad de Ceva que pusiste, no necesitas lo anterior, necesitas:
Con estos cambios se logra probar correctamente que M es el punto medio de PQ. Aunque, se puede evitar lo de probar que M es el punto medio tan sólo diciendo: al igual que PM=ab/(a+b) también se puede probar que MQ=ab/(a+b).y por lo tanto se tiene el resultado.
Por otro lado, noté que subiste la imagen a otro sitio (como Zzq propone). Te sugiero leer la entrada de blog ¿Cómo subir imágenes a MaTeTaM? para ver otra forma de poner imágenes. Creemos que es más fácil. Nos gustaría que intentaras este método la próxima vez para ver si quedó bien habilitada está funcionalidad.
Saludos
Es un problema muy
Es un problema muy bonito.
Sea ABCD el trapecio, sea P el punto de intersección de las diagonales, y sean M y N las intersecciones de la paralela a AB que pasa por P con BC y DA, respectivamente.
Como en la figura, nombramos a los segmentos de esa manera. Vemos que μ=μ1+μ2. Lo que queremos probar equivale a probar que:
μ=21a+1b ⟺ μa+μb=2
Por Thales en △ACD y △BCD tenemos
μ1a=x2x2+y2 ... (1)
μ2a=x1x1+y1 ... (2)
y aplicando Thales en △ABD y △ABC tenemos
μ1b=y2x2+y2 ... (3)
μ2b=y1x1+y1 ... (4)
Sumando (1), (2), (3), (4) tenemos
μ1a+μ2a+μ1b+μ2b=x2x2+y2+x1x1+y1+y2x2+y2+y1x1+y1
μa+μb=2
que era lo que queríamos probar.
Muy padre solución. La voy a
Muy padre solución. La voy a poner como la solución oficial a este problema.
Saludos
¿Qué significa "n/d"?
¿Qué significa "n/d"?
Creo que significa
Creo que significa non-display, que indica que no se pudo procesar una parte de la información de la página. Pero parece que ya no aparece.