Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:
$p^k-k^p=9k$
Usa paridad, luego factoriza
Veamos.
Si $p$ es impar y $k$ es impar, $p^k-k^p$ es par pero $9k$ es impar.
Si $p$ es impar y $k$ es par, $p^k-k^p$ es impar pero $9k$ es par
$\therefore p=2$
Entonces tenemos que $2^k-k^2=9k \Leftrightarrow 2^k=9k+k^2 \Leftrightarrow 2^k=k(k+9)$
Nota que $k$ tiene que ser par porque si no $2^k-k^2$ es impar y $9k$ seria par. También nota que el lado izquierdo crece más rápido que el derecho (ya que tenemos exponencial vs producto). Para $n>6, 2^k>k(k+9)$.
Si k=6, 64=90
Si k=4, 16=52
Si k=2, 4=22.
$\therefore$ No hay soluciones.
