Aunque se trata de un problema sencillo, me parece muy interesante ya que combina álgebra con teoría de los números. Mi solución va así:
Evidentemente $c$ divide a $ab$, por lo que $c=\alpha \beta$ tal que $\alpha | a$ y $\beta | b$, entonces $d = ab/c = (a/\alpha)(b/\beta)$.
Sustituyendo los valores de c y d: $$a + b+c+d = a + b + \alpha \beta + \frac{a}{\alpha}\frac{b}{\beta} = (\frac{a}{\alpha} + \beta)(\frac{b}{\beta} + \alpha)$$
Como cada factor es mayor a 1, se sigue que $a+b+c+d$ no es primo.
Lo que me intriga es, ¿dónde está la mágia de los números primos?
Enviado por German Puga el 29 de Abril de 2016 - 19:18.
Este problema es de mis favoritos, y es que tiene algo ''raro'' ya que cuando yo lo hice por primera vez, y después que me ha tocado proponerselo a varias chicos, no hemos podido hacer lo hiciste tú Jesús, esta parte de la existencia de $ \alpha$ y $\beta$, y bueno la verdad no sé porque sucedio eso jaja creo que es por que al principio cambiar de ideas de números a ideas de álgebra lo vuelve complicado.
La solución que yo contemplaba concluye con ''Si a+b+c+d fuera primo entonces..." apela a una propiedad bien conocida y que solo sucede con los números primos, pero es una solución bien oscura, definitivamente ahora que proponga este problema también mostraré tu solución, si me lo permites.
Aunque se trata de un
Aunque se trata de un problema sencillo, me parece muy interesante ya que combina álgebra con teoría de los números. Mi solución va así:
Evidentemente $c$ divide a $ab$, por lo que $c=\alpha \beta$ tal que $\alpha | a$ y $\beta | b$, entonces $d = ab/c = (a/\alpha)(b/\beta)$.
Sustituyendo los valores de c y d: $$a + b+c+d = a + b + \alpha \beta + \frac{a}{\alpha}\frac{b}{\beta} = (\frac{a}{\alpha} + \beta)(\frac{b}{\beta} + \alpha)$$
Como cada factor es mayor a 1, se sigue que $a+b+c+d$ no es primo.
Lo que me intriga es, ¿dónde está la mágia de los números primos?
Saludos
Este problema es de mis
Este problema es de mis favoritos, y es que tiene algo ''raro'' ya que cuando yo lo hice por primera vez, y después que me ha tocado proponerselo a varias chicos, no hemos podido hacer lo hiciste tú Jesús, esta parte de la existencia de $ \alpha$ y $\beta$, y bueno la verdad no sé porque sucedio eso jaja creo que es por que al principio cambiar de ideas de números a ideas de álgebra lo vuelve complicado.
La solución que yo contemplaba concluye con ''Si a+b+c+d fuera primo entonces..." apela a una propiedad bien conocida y que solo sucede con los números primos, pero es una solución bien oscura, definitivamente ahora que proponga este problema también mostraré tu solución, si me lo permites.
Saludos
germán