Sea r la razón de la progresión geométrica. Entonces, digamos que a=a, b=ar y c=ar2. Como a<b<c, r>1. Ahora, observe que a+ar+ar2=35⟺a(r2+r+1)=35. Como a∈ N, entonces a=1,5,7,35.
Caso 1. a=1
Entonces nos queda que r2+r−34=0, entonces usando chicharronera r=−1±√12−(4)(1)(−34)2(1)⟺r=−1±√1372 Pero esto haria que b no sea natural
Caso 2. a=5, entonces r2+r+1=7⟺r2+r−6=0⟺(r−2)(r+3)=0, y como r>1, r=2. Esto nos da la terna (5,10,20). Confirmando en la segunda ecuación: 25+100+400=525
Caso 3. a=7. Entonces r2+r+1=5⟺r2+r−4=0. Usando chicharronera se llega a que r=−1±√172, lo cual haria que b no sea natural
Caso 4. a=35. Entonces r2+r+1=1⟺r2+r=0⟺r(r+1)=0, pero r>1.
La única terna que cumple es la (5,10,20)