2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:47.

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones:

$a+b+c=35$

$a^2+b^2+c^2=525$

Sugerencia

Sugerencia:

Si tienen una razón $r$ tal que $b=ar$ y $c=br$ , ¿cuánto vale c en términos de $a$ ?

Después de sustituir, usa divisibilidad porque $a$ es entero y checa todos los casos.

Solución

Solución:

Sea

$r$ la razón de la progresión geométrica. Entonces, digamos que

$a=a$ ,

$b=ar$ y

$c=ar^2$ . Como

$a<b<c$ ,

$r>1$ . Ahora, observe que

$a+ar+ar^2=35 \iff a(r^2+r+1)=35$ . Como

$a \in \ \mathbb{N}$ , entonces

$a=1, 5, 7, 35$ .

Caso 1.

$a=1$

Entonces nos queda que

$r^2+r-34=0$ , entonces usando chicharronera

$r=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-(4)(1)(-34)}}{2(1)} \iff r=\frac{-1\pm \sqrt{137}}{2}$ Pero esto haria que

$b$ no sea natural

Caso 2.

$a=5$ , entonces

$r^2+r+1=7 \iff r^2+r-6=0 \iff (r-2)(r+3)=0$ , y como

$r>1$ ,

$r=2$ . Esto nos da la terna

$(5, 10, 20)$ . Confirmando en la segunda ecuación:

$25+100+400=525$

Caso 3.

$a=7$ . Entonces

$r^2+r+1=5 \iff r^2+r-4=0$ . Usando chicharronera se llega a que

$r=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$ , lo cual haria que

$b$ no sea natural

Caso 4.

$a=35$ . Entonces

$r^2+r+1=1 \iff r^2+r=0 \iff r(r+1)=0$ , pero

$r>1.$

La única terna que cumple es la

$(5,10,20)$

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