Para iniciar este problema tenemos que ver numéricamente dónde están las marcas rojas, y dónde están las azules.
Definiendo el numero de las paginas con marcas rojas como números en el conjunto R={Ri}={2,5,8,11,14,11,…} donde cualquier numero Ri es de la forma Ri≡2(mod3).
De la misma manera definiremos a el número de las paginas con marcas azules como números en el conjunto B{Bi}={2,4,6,8,20,22,…} donde cualquier número de la forma Bi son tales que Bi=103⋅a+102⋅b+10⋅c+d tal que a,b,c,d≡0(mod2).
Ahora definimos el conjunto M tal que M=R∩A que seria las páginas donde están las marcas azules y las rojas. Esto significaría que los números en M son tales que Mi=103⋅a+102⋅b+10⋅c+d tal que 103⋅a+102⋅b+10⋅c+d≡2(mod3) con a,b,c,d≡0(mod2).
Ahora, definimos los números a′,b′,c′,d′ como a/2,b/2,c/2,d/2 respectivamente. Por lo cual ahora podemos reescribir nuestra expresión como:
2(103⋅a′+102⋅b′+10⋅c′+d′)≡2(mod3)2(103⋅a′+102⋅b′+10⋅c′+d′−1)≡0(mod3)
Una vez teniendo esto, podemos notar que 2≢0(mod3) eso implica que
103⋅a′+102⋅b′+10⋅c′+d′≡1(mod3)
Ademas de eso, por el teorema de divisibilidad de 3,
103⋅a′+102⋅b′+10⋅c′+d′≡a′+b′+c′+d′≡1(mod3)a′+b′+c′+d′−1≡0(mod3)a′+b′+c′+d′≡1(mod3)
Sabiendo que a′,b′,c′,d′ son la mitad de a,b,c,d respectivamente, y sabiendo que a su vez estos solo pueden ser 0,2,4,6,8. Podemos ver que los valores de {a′,b′,c′,d′=0,1,2,3,4}. Ademas, como a′=a/2 eso implica que 0≤a′≤1.
En el caso de a′=1, llegamos a que el +único valor posible de b′ es 0, ya que si a′=1 y b′≥1 entonces a=2 y b≥2, por lo que 103⋅a+102⋅b+10⋅c+d≥103⋅2+102⋅2=2200. Pero 2200>2023 por lo que estaríamos considerando un caso que no existe; ya que el libro tiene sólo 2023 páginas.
En este caso, solo tendríamos que Identificar los valores de c′ y d′. como queremos que:
a′+b′+c′+d′≡1(mod3)
Y sabemos que a′=1 y b′=0. Esto se simplifica a
1+0+c′+d′≡1(mod3)c′+d′≡0(mod3)
Sabemos que c′<2 ya que si c′≥2, c≥4 esto implicaría que 103⋅a+102⋅b+10⋅c+d≥2040, sabiendo que solo tenemos 2023 paginas, llegamos a una contradicción. Esto explica que c′=0,1.
Esto reduce nuestras opciones de la bina (c′,d′) a (0,0) y (0,3)
No existe ninguna bina con c′=1 ya que como:
c′+d′≡0(mod3)yc′=1
d′≡2(mod3) pero como ya tenemos que a′=1,b′=0,c′=1, a=2,b=0,c=2 lo cual implica que:
103⋅a+102⋅b+10⋅c+d=2020+d.
Por lo cual d′=0,1 (porque si d′≥2 y d≥4 lo cual otra vez no es posible porque solo tenemos 2023 paginas)
Si d′=0. 1+0≡1(mod3) Pero 1≠0.
Si d′=1. 1+1≡2(mod3) Pero 2≠0.
Ahora podemos ver el caso a'=0.
Notemos que si b′+c′≡0(mod3) entonces d′≡1(mod3) pero los únicos valores menores o iguales a 4 que cumplen eso serian d′=1,4.
Si b′+c′≡1(mod3) entonces d′≡0(mod3) pero los unicos valores menores o iguales a 4 que cumplen eso serian d′=0,3.
Si b′+c′≡2(mod3) entonces d′≡2(mod3) pero el único valor menor o igual a 4 que cumple eso seria d′=2.
Con b′+c′≡0(mod3) tenemos 8 opciones (las que enlisto enseguida) Por lo cual tendríamos 8×2=16 páginas que cumplen con esto.
00, 03, 12, 21, 24, 30, 33,42
Con b′+c′≡1(mod3) tenemos 9 opciones. Por lo cual tendríamos 9×2=18 paginas que cumplen con esto.
01,04,10,13,22,31,34,40,43.
Con b′+c′≡2(mod3) tenemos opciones 8 opciones. Por lo cual tendriamos 8×1=8.
02, 11, 14, 20, 23, 32, 41, 44.
Sumando todo, tenemos 16+18+8+2=44
Gabriela encontró una enciclopedia de 2023 páginas, numeradas del 1 al 2023. Notó que las páginas cuyo número está formado por únicamente dígitos pares tienen una marca azul. También notó que cada 3 páginas hay una marca roja y que la primera marca roja está en la página 2. ¿Cuántas páginas de la enciclopedia están marcadas con ambos colores?