Para iniciar este problema tenemos que ver numéricamente dónde están las marcas rojas, y dónde están las azules.
Definiendo el numero de las paginas con marcas rojas como números en el conjunto $R=\{R_i\} = \{2,5,8,11,14,11, \dots\}$ donde cualquier numero $R_i$ es de la forma $R_i \equiv 2 \pmod{3}$.
De la misma manera definiremos a el número de las paginas con marcas azules como números en el conjunto $B\{B_i\}=\{2,4,6,8,20,22, \dots\}$ donde cualquier número de la forma $B_i$ son tales que $B_i=10^3\cdot a+10^2\cdot b+10 \cdot c+d$ tal que $a,b,c,d \equiv 0 \pmod{2}$.
Ahora definimos el conjunto $M$ tal que $M=R\cap A$ que seria las páginas donde están las marcas azules y las rojas. Esto significaría que los números en $M$ son tales que $M_i =10^3\cdot a+10^2\cdot b+10 \cdot c+d$ tal que $10^3\cdot a+10^2\cdot b+10 \cdot c+d \equiv 2 \pmod{3}$ con $a,b,c,d \equiv 0 \pmod{2}$.
Ahora, definimos los números $a',b',c',d'$ como $a/2,b/2,c/2,d/2$ respectivamente. Por lo cual ahora podemos reescribir nuestra expresión como:
\begin{eqnarray*}
2(10^3\cdot a'+10^2\cdot b'+10 \cdot c'+d') &\equiv& 2 \pmod{3}\\
2(10^3\cdot a'+10^2\cdot b'+10 \cdot c'+d' -1 ) & \equiv& 0\pmod{3}
\end{eqnarray*}
Una vez teniendo esto, podemos notar que $2 \not \equiv 0 \pmod{3}$ eso implica que
$$10^3\cdot a'+10^2\cdot b'+10 \cdot c'+d' \equiv 1 \pmod{3}$$
Ademas de eso, por el teorema de divisibilidad de 3,
\begin{eqnarray*}
10^3\cdot a'+10^2\cdot b'+10 \cdot c'+d' &\equiv& a' +b'+c'+d' \equiv 1 \pmod{3} \\
a'+b'+c'+d'-1 &\equiv& 0 \pmod{3}\\
a'+b'+c'+d'& \equiv & 1 \pmod{3}
\end{eqnarray*}
Sabiendo que $a',b',c',d'$ son la mitad de $a,b,c,d$ respectivamente, y sabiendo que a su vez estos solo pueden ser $0,2,4,6,8$. Podemos ver que los valores de $\{a',b',c',d' =0,1,2,3,4\}$. Ademas, como $a'=a/2$ eso implica que $0\leq a' \leq 1$.
En el caso de $a'=1$, llegamos a que el +único valor posible de $b'$ es $0$, ya que si $a'=1$ y $b' \geq 1$ entonces $a = 2$ y $b \geq 2$, por lo que $10^3\cdot a+10^2 \cdot b+10\cdot c+d \geq 10^3\cdot 2 +10^2\cdot 2 = 2200$. Pero $2200>2023$ por lo que estaríamos considerando un caso que no existe; ya que el libro tiene sólo 2023 páginas.
En este caso, solo tendríamos que Identificar los valores de $c'$ y $d'$. como queremos que:
\[a'+b'+c'+d' \equiv 1 \pmod{3}\]
Y sabemos que $a'=1$ y $b'=0$. Esto se simplifica a
\begin{eqnarray*}
1+0+c'+d' &\equiv& 1 \pmod{3}\\
c'+d' &\equiv &0 \pmod{3}
\end{eqnarray*}
Sabemos que $c'<2$ ya que si $c' \geq 2$, $c \geq 4$ esto implicaría que $10^3\cdot a+10^2 \cdot b+10\cdot c+d \geq 2040$, sabiendo que solo tenemos 2023 paginas, llegamos a una contradicción. Esto explica que $c'=0,1$.
Esto reduce nuestras opciones de la bina $(c',d')$ a $(0,0)$ y $(0,3)$
No existe ninguna bina con $c'=1$ ya que como:
\[c'+d' \equiv 0 \pmod{3} \quad \textrm{y} \quad c'=1 \]
$d' \equiv 2 \pmod{3}$ pero como ya tenemos que $a'=1, b'=0, c'=1$, $a=2, b=0, c=2$ lo cual implica que:
$$10^3\cdot a+10^2 \cdot b+10\cdot c+d=2020+d.$$
Por lo cual $d'=0,1$ (porque si $d'\geq 2$ y $d\geq 4$ lo cual otra vez no es posible porque solo tenemos 2023 paginas)
Si $d'=0$. $1+0\equiv 1 \pmod{3}$ Pero $1 \neq 0$.
Si $d'=1$. $1+1\equiv 2 \pmod{3}$ Pero $2 \neq 0$.
Ahora podemos ver el caso a'=0.
Notemos que si $b'+c' \equiv 0 \pmod{3}$ entonces $d' \equiv 1 \pmod{3}$ pero los únicos valores menores o iguales a 4 que cumplen eso serian $d'=1,4$.
Si $b'+c' \equiv 1 \pmod{3}$ entonces $d' \equiv 0\pmod{3}$ pero los unicos valores menores o iguales a 4 que cumplen eso serian $d'=0,3$.
Si $b'+c' \equiv 2\pmod{3}$ entonces $d' \equiv 2\pmod{3}$ pero el único valor menor o igual a 4 que cumple eso seria $d'=2$.
Con $b'+c' \equiv 0 \pmod{3}$ tenemos 8 opciones (las que enlisto enseguida) Por lo cual tendríamos $8 \times 2=16$ páginas que cumplen con esto.
00, 03, 12, 21, 24, 30, 33,42
Con $b'+c' \equiv 1\pmod{3}$ tenemos 9 opciones. Por lo cual tendríamos $9 \times 2=18$ paginas que cumplen con esto.
01,04,10,13,22,31,34,40,43.
Con $b'+c' \equiv 2\pmod{3}$ tenemos opciones 8 opciones. Por lo cual tendriamos $8\times 1=8$.
02, 11, 14, 20, 23, 32, 41, 44.
Sumando todo, tenemos $16+18+8+2=44$
Gabriela encontró una enciclopedia de 2023 páginas, numeradas del 1 al 2023. Notó que las páginas cuyo número está formado por únicamente dígitos pares tienen una marca azul. También notó que cada 3 páginas hay una marca roja y que la primera marca roja está en la página 2. ¿Cuántas páginas de la enciclopedia están marcadas con ambos colores?