Problemas - Combinatoria
P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3
Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números:
$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$
El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria?
P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:
- Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
- Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$
Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$
P1. Rompecabezas especial
En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?
P6. La lista de Germán
Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$.
P4. Ceros y Unos en un pizarrón.
- ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
- ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?
P2. Los monos de Daniel
Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.
3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez
Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela.
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo.
P3. Un fotógrafo amante de la combinatoria
P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado
P4. Ana y Beto coloreando cuadrados
Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?
El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.
