Avanzado

Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números: 

$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$

El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria? 

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

• Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
• Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto  $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: $$a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}$$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números $$2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1$$ se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?

El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.

Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.

¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?

Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:

$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$

Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.