P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 15:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto $E$ . Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$ . Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$ .

Sugerencia

Sugerencia:

Como $A$ es centro de $\Gamma$ , entonces tendremos varios triángulos isósceles. Observa que hay ángulos que abren arcos de circunferencias distintas. Utiliza que una bisectriz también es altura de un triángulo isósceles.

Demuestra que $K$ es el ortocentro de $ABC$

Solución

Solución:

Vamos a usar la propiedad de que 1 ángulo central es igual al doble de su ángulo inscrito que abra el mismo arco.

$\angle DAK=2\angle DEK=$ y

$\angle DEK=\angle DAB$ , y como

$AD=AK$ , entonces

$AB$ es todotriz de

$\angle DAK$ .

$\angle KAE=2\angle KDE$ y

$\angle KDE=\angle CAE$ , entonces

$AC$ es todotriz de

$\angle EAK$ .

Con esto concluimos que

$K$ es el ortocentro del triángulo

$ABC$ .

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Juan Castro, si lees este

Enviado por Samuel Elias el 20 de Abril de 2025 - 15:48.

Juan Castro, si lees este comentario espero puedas compartir tu solución, me gustó mucho como matas el problema con el punto diametralmente opuesto.

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