Cuadrados en cada lado y concurrencia.

Bueno, no habia checado que ya habias puesto otro problema,pero ya estando de vacaciones me puse a ver la pagina, bueno..., lo que prove fue que $AO_A, BO_B, CO_C$ son ejes radicales, y de ahi el resultado es claro. Sean D , E los puntos diametralmente opuestos a A en $C_B, C_C$ respectivamente. Y sea P el otro punto de interseccion de $C_B, C_C$, notemos que AP es perpendicular a $O_B O_C$ y por consiguiente a DE, Ademas los cuadrilateros $BEAP, CDAP$ son ciclicos, de ello tenemos que $\angle{BPE}=\angle{BAE}=45=\angle{CAD}=\angle{CPD}$ por consiguiente $\angle{BPC}=90$ de ehi tenemos que $BPCO_A$ es ciclico. De ello obtenemos que $\ange{BCO_A}=\angle{BPO_A}=45$ de ello $\angle{BPO_A}+\angle{BPE}=90$ de ahi se sigue que $A,P,O_A$ son coolineales, es decir $AO_A$ es eje radical, de manera simirar obtenemos que $AO_A, BO_B, CO_C$ son los ejes radicales, y es conocido que concurren en un punto. Bueno, el problema me parecio bueno, antes de dibujar la figura en lo que pensaba es que $AO_A, BO_B, CO_C$ serian bicectrices o alguna recta conocida, al dibujar la figura lo de ejes radicales fue muy claro, lo que siguio fue la manera de demostrar la coolinealidad de $A,P,O_A$, me gustaria que pusieras otra serie de problemas, ya que ahorita estando de vacaciones se tiene mas tiempo para la resolucion, bueno saludos

Sí, está muy bien tu solución. Veo que desde abril manejas muy bien los ejes radicales. Hay algunos detalles de dedo que voy a corregir a la hora de transcribir tu solución ... pero eso lo haré después.

Por ahora me gustaría señalarte que este problema es muy similar, en la figura, a un con de triángulos equiláteros en los lados opuesto aquí lo puse: Equilátero en caras opuestas.

Lo que podemos observar es que en ambos aparecen tres puntos ( $ O_A $, $ O_B $ y $ O_C$ en este problema, $ A' $, $ B '$ y $ C' $ en el otro) de tal manera que al unir los vértices del triángulo con el opuesto las rectas concurren. No es muy difícil imaginar la existencia de una generalización a estos dos resultados.

Te dejaría de tare buscar una generalización, pero creo que por el momento es mejor que practiques tus técnicas de demostración.

Bueno, la generalización la puedes ver en el siguiente problema: Isósceles semejantes sobre un triángulo.