Avanzado
suma de divisores
Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos n tales que la suma de los divisores positivos del número 2008n−1 es divisible entre n.
Método del residuo chino
Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.
2n-agono
Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.
El Viajero
Un viajero decide tomar un paseo en su propio automóvil, recorriendo un camino "circular" que pasa por n ciudades; es decir, sin importar en la ciudad que inicie, regresará a ésta después de pasar por las otras.
La distancia total del recorrido es de K kilómetros. Por otro lado, cada ciudad (digamos la ciudad i, con i entre 1 y n) tiene un máximo de gasolina que puede vender por usuario y con dicha gasolina se puede avanzar alguna cierta cantidad de kilómetros (Ki kilómetros para la ciudad i).
Supongamos que el total de gasolina que se puede obtener en las distintas ciudades es apenas suficiente para realizar todo el recorrido, es decir, K1+K2+...+Kn=K.
