Avanzado

Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$, y $H$ el punto de intersección del lado $AC$ y la altura por $B$. Llamemos $r,r_1,r_2$ a los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $ABC,ABH,HBC$, respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione $r,r_1,r_2$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.

Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.

Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
 

Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.

Sean $x,y$ enteros para los cuales existen enteros consecutivos $c$ y $d$ tales que $x-y=x^2c-y^2d$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.

Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.

Los números reales $a,b,c,d,e$ suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener $e$.