Avanzado
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles
Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.
Círculos internamente tangentes
Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.
Problema cuadrático
Sean $x,y$ enteros para los cuales existen enteros consecutivos $c$ y $d$ tales que $x-y=x^2c-y^2d$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.
¿Cuadrado perfecto? ¡Manipulación algebraica!
Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.
Máximo con restricciones
Los números reales $a,b,c,d,e$ suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener $e$.
Cuadrilátero completo y puntos medios de sus diagonales
Consideremos $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro rectas no tres de ellas concurrentes (es decir, un cuadrilátero completo) y no dos de ellas paralelas. Demuestra que son colineales los puntos medios de las tres diagonales del cuadrilátero completo.
Nota: Las diagonales de un cuadrilátero completo son los segmentos que unen un punto de intersección de dos de sus lados con el de los otros dos lados.
Ciclos de residuos en una progresión geométrica
Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$
Solución de congruencias potenciales
Sea $a$ un entero positivo, coprimo con un primo $p$. Analizar la ecuación de congruencias $x^n \equiv a \pmod{p}$ en cuanto a sus posibles soluciones.
Raíces primitivas de un primo: una propiedad logarítmica
Sean $p$ un número primo y $g$ una de sus raíces primitivas. Demostrar que dos enteros positivos $i,j$ son equiresiduales en la división entre $p-1$ si y sólo si $g^i,g^j$ son equiresiduales en la división entre $p$